Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9309 / 9699
↖ ↑ ↗
← S 31.409912°
E 24.543457°		 ← 2 085.19 m → S 31.409912°
E 24.565430°		 →
↑
2 084.97 m
↓
↑
2 084.97 m
↓
S 31.428663°
E 24.543457°		 ← 2 084.77 m →
4 347 126 m²		 S 31.428663°
E 24.565430°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9309 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9699 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568206787109375 y=0.592010498046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568206787109375 × 214)
    floor (0.568206787109375 × 16384)
    floor (9309.5)     		tx = 9309
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.592010498046875 × 214)
    floor (0.592010498046875 × 16384)
    floor (9699.5)     		ty = 9699
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9309 / 9699 ti = "14/9309/9699"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9309/9699.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9309 ÷ 214
    9309 ÷ 16384     		x = 0.56817626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9699 ÷ 214
    9699 ÷ 16384     		y = 0.59197998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56817626953125 × 2 - 1) × π
    0.1363525390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42836414
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59197998046875 × 2 - 1) × π
    -0.1839599609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.577927261819397
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42836414} λ = 0.42836414}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.577927261819397))-π/2
    2×atan(0.561060092848329)-π/2
    2×0.51129497063007-π/2
    1.02258994126014-1.57079632675     		φ = -0.54820639
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42836414} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.543457°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54820639 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.409912°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9309 KachelY 9699 0.42836414 -0.54820639 24.543457 -31.409912
    Oben rechts KachelX + 1 9310 KachelY 9699 0.42874763 -0.54820639 24.565430 -31.409912
    Unten links KachelX 9309 KachelY + 1 9700 0.42836414 -0.54853365 24.543457 -31.428663
    Unten rechts KachelX + 1 9310 KachelY + 1 9700 0.42874763 -0.54853365 24.565430 -31.428663
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54820639--0.54853365) × R
    0.00032725999999994 × 6371000     		dl = 2084.97345999962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54820639--0.54853365) × R
    0.00032725999999994 × 6371000     		dr = 2084.97345999962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42836414-0.42874763) × cos(-0.54820639) × R
    0.000383489999999986 × 0.853460647296502 × 6371000     		do = 2085.18767615771m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42836414-0.42874763) × cos(-0.54853365) × R
    0.000383489999999986 × 0.853290047661569 × 6371000     		du = 2084.77086460648m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54820639)-sin(-0.54853365))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.853460647296502-0.853290047661569)×R²
    abs(0.42874763-0.42836414)×0.0001705996349326×R²
    0.000383489999999986×0.0001705996349326×6371000²
    0.000383489999999986×0.0001705996349326×40589641000000     		ar = 4347126.48219364m²