Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 9307 / 9701
↖ ↑ ↗
← S 31.447410°
E 24.499511°		 ← 2 084.41 m → S 31.447410°
E 24.521484°		 →
↑
2 084.21 m
↓
↑
2 084.21 m
↓
S 31.466154°
E 24.499511°		 ← 2 083.99 m →
4 343 908 m²		 S 31.466154°
E 24.521484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9307 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9701 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568084716796875 y=0.592132568359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568084716796875 × 214)
    floor (0.568084716796875 × 16384)
    floor (9307.5)     		tx = 9307
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.592132568359375 × 214)
    floor (0.592132568359375 × 16384)
    floor (9701.5)     		ty = 9701
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9307 / 9701 ti = "14/9307/9701"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9307/9701.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9307 ÷ 214
    9307 ÷ 16384     		x = 0.56805419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9701 ÷ 214
    9701 ÷ 16384     		y = 0.59210205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56805419921875 × 2 - 1) × π
    0.1361083984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42759714
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59210205078125 × 2 - 1) × π
    -0.1842041015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.578694252213318
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42759714} λ = 0.42759714}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.578694252213318))-π/2
    2×atan(0.560629930133125)-π/2
    2×0.510967737999014-π/2
    1.02193547599803-1.57079632675     		φ = -0.54886085
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42759714} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.499511°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54886085 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.447410°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9307 KachelY 9701 0.42759714 -0.54886085 24.499511 -31.447410
    Oben rechts KachelX + 1 9308 KachelY 9701 0.42798064 -0.54886085 24.521484 -31.447410
    Unten links KachelX 9307 KachelY + 1 9702 0.42759714 -0.54918799 24.499511 -31.466154
    Unten rechts KachelX + 1 9308 KachelY + 1 9702 0.42798064 -0.54918799 24.521484 -31.466154
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54886085--0.54918799) × R
    0.000327140000000004 × 6371000     		dl = 2084.20894000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54886085--0.54918799) × R
    0.000327140000000004 × 6371000     		dr = 2084.20894000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42759714-0.42798064) × cos(-0.54886085) × R
    0.000383500000000037 × 0.85311938794298 × 6371000     		do = 2084.40825849444m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42759714-0.42798064) × cos(-0.54918799) × R
    0.000383500000000037 × 0.852948668209257 × 6371000     		du = 2083.99114263951m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54886085)-sin(-0.54918799))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.85311938794298-0.852948668209257)×R²
    abs(0.42798064-0.42759714)×0.000170719733723623×R²
    0.000383500000000037×0.000170719733723623×6371000²
    0.000383500000000037×0.000170719733723623×40589641000000     		ar = 4343907.68740734m²