Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9306 / 9696
↖ ↑ ↗
← S 31.353637°
E 24.477539°		 ← 2 086.44 m → S 31.353637°
E 24.499511°		 →
↑
2 086.25 m
↓
↑
2 086.25 m
↓
S 31.372399°
E 24.477539°		 ← 2 086.02 m →
4 352 391 m²		 S 31.372399°
E 24.499511°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9306 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9696 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568023681640625 y=0.591827392578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568023681640625 × 214)
    floor (0.568023681640625 × 16384)
    floor (9306.5)     		tx = 9306
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591827392578125 × 214)
    floor (0.591827392578125 × 16384)
    floor (9696.5)     		ty = 9696
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9306 / 9696 ti = "14/9306/9696"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9306/9696.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9306 ÷ 214
    9306 ÷ 16384     		x = 0.5679931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9696 ÷ 214
    9696 ÷ 16384     		y = 0.591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5679931640625 × 2 - 1) × π
    0.135986328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42721365
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.591796875 × 2 - 1) × π
    -0.18359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.576776776228516
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42721365} λ = 0.42721365}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.576776776228516))-π/2
    2×atan(0.561705955857573)-π/2
    2×0.511786064852429-π/2
    1.02357212970486-1.57079632675     		φ = -0.54722420
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42721365} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.477539°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54722420 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.353637°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9306 KachelY 9696 0.42721365 -0.54722420 24.477539 -31.353637
    Oben rechts KachelX + 1 9307 KachelY 9696 0.42759714 -0.54722420 24.499511 -31.353637
    Unten links KachelX 9306 KachelY + 1 9697 0.42721365 -0.54755166 24.477539 -31.372399
    Unten rechts KachelX + 1 9307 KachelY + 1 9697 0.42759714 -0.54755166 24.499511 -31.372399
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54722420--0.54755166) × R
    0.000327459999999946 × 6371000     		dl = 2086.24765999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54722420--0.54755166) × R
    0.000327459999999946 × 6371000     		dr = 2086.24765999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42721365-0.42759714) × cos(-0.54722420) × R
    0.000383489999999986 × 0.853972111029799 × 6371000     		do = 2086.43729191545m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42721365-0.42759714) × cos(-0.54755166) × R
    0.000383489999999986 × 0.853801681659168 × 6371000     		du = 2086.02089635648m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54722420)-sin(-0.54755166))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.853972111029799-0.853801681659168)×R²
    abs(0.42759714-0.42721365)×0.000170429370630165×R²
    0.000383489999999986×0.000170429370630165×6371000²
    0.000383489999999986×0.000170429370630165×40589641000000     		ar = 4352390.60475669m²