Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9305 / 9783
↖ ↑ ↗
← S 32.971804°
E 24.455566°		 ← 2 049.76 m → S 32.971804°
E 24.477539°		 →
↑
2 049.49 m
↓
↑
2 049.49 m
↓
S 32.990235°
E 24.455566°		 ← 2 049.33 m →
4 200 519 m²		 S 32.990235°
E 24.477539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9305 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9783 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567962646484375 y=0.597137451171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567962646484375 × 214)
    floor (0.567962646484375 × 16384)
    floor (9305.5)     		tx = 9305
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.597137451171875 × 214)
    floor (0.597137451171875 × 16384)
    floor (9783.5)     		ty = 9783
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9305 / 9783 ti = "14/9305/9783"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9305/9783.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9305 ÷ 214
    9305 ÷ 16384     		x = 0.56793212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9783 ÷ 214
    9783 ÷ 16384     		y = 0.59710693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56793212890625 × 2 - 1) × π
    0.1358642578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42683015
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59710693359375 × 2 - 1) × π
    -0.1942138671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.610140858364075
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42683015} λ = 0.42683015}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.610140858364075))-π/2
    2×atan(0.543274338950044)-π/2
    2×0.497664895295294-π/2
    0.995329790590587-1.57079632675     		φ = -0.57546654
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42683015} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.455566°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57546654 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.971804°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9305 KachelY 9783 0.42683015 -0.57546654 24.455566 -32.971804
    Oben rechts KachelX + 1 9306 KachelY 9783 0.42721365 -0.57546654 24.477539 -32.971804
    Unten links KachelX 9305 KachelY + 1 9784 0.42683015 -0.57578823 24.455566 -32.990235
    Unten rechts KachelX + 1 9306 KachelY + 1 9784 0.42721365 -0.57578823 24.477539 -32.990235
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57546654--0.57578823) × R
    0.000321690000000041 × 6371000     		dl = 2049.48699000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57546654--0.57578823) × R
    0.000321690000000041 × 6371000     		dr = 2049.48699000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42683015-0.42721365) × cos(-0.57546654) × R
    0.000383499999999981 × 0.838938490417496 × 6371000     		do = 2049.76037645942m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42683015-0.42721365) × cos(-0.57578823) × R
    0.000383499999999981 × 0.838763374870166 × 6371000     		du = 2049.33252040762m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57546654)-sin(-0.57578823))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.838938490417496-0.838763374870166)×R²
    abs(0.42721365-0.42683015)×0.000175115547329852×R²
    0.000383499999999981×0.000175115547329852×6371000²
    0.000383499999999981×0.000175115547329852×40589641000000     		ar = 4200518.81769044m²