Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9305 / 7383
↖ ↑ ↗
← N 69.813100°
W 77.772217°		 ← 421.57 m → N 69.813100°
W 77.761230°		 →
↑
421.57 m
↓
↑
421.57 m
↓
N 69.809309°
W 77.772217°		 ← 421.64 m →
177 736 m²		 N 69.809309°
W 77.761230°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9305 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7383 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.283981323242188 y=0.225326538085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.283981323242188 × 215)
    floor (0.283981323242188 × 32768)
    floor (9305.5)     		tx = 9305
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.225326538085938 × 215)
    floor (0.225326538085938 × 32768)
    floor (7383.5)     		ty = 7383
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9305 / 7383 ti = "15/9305/7383"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9305/7383.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9305 ÷ 215
    9305 ÷ 32768     		x = 0.283966064453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7383 ÷ 215
    7383 ÷ 32768     		y = 0.225311279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.283966064453125 × 2 - 1) × π
    -0.43206787109375 × 3.1415926535     		Λ = -1.35738125
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.225311279296875 × 2 - 1) × π
    0.54937744140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.7259201339205
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.35738125} λ = -1.35738125}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7259201339205))-π/2
    2×atan(5.61768767731144)-π/2
    2×1.39463239348198-π/2
    2.78926478696397-1.57079632675     		φ = 1.21846846
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.35738125} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -77.772217°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21846846 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.813100°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9305 KachelY 7383 -1.35738125 1.21846846 -77.772217 69.813100
    Oben rechts KachelX + 1 9306 KachelY 7383 -1.35718950 1.21846846 -77.761230 69.813100
    Unten links KachelX 9305 KachelY + 1 7384 -1.35738125 1.21840229 -77.772217 69.809309
    Unten rechts KachelX + 1 9306 KachelY + 1 7384 -1.35718950 1.21840229 -77.761230 69.809309
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21846846-1.21840229) × R
    6.61699999999765e-05 × 6371000     		dl = 421.56906999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21846846-1.21840229) × R
    6.61699999999765e-05 × 6371000     		dr = 421.56906999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.35738125--1.35718950) × cos(1.21846846) × R
    0.000191749999999935 × 0.345083610951763 × 6371000     		do = 421.567683670261m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.35738125--1.35718950) × cos(1.21840229) × R
    0.000191749999999935 × 0.345145715502044 × 6371000     		du = 421.643553026487m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21846846)-sin(1.21840229))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345083610951763-0.345145715502044)×R²
    abs(-1.35718950--1.35738125)×6.21045502806616e-05×R²
    0.000191749999999935×6.21045502806616e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.21045502806616e-05×40589641000000     		ar = 177735.888497911m²