Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9305 / 6703
↖ ↑ ↗
← N 31.071756°
E 24.455566°		 ← 2 092.72 m → N 31.071756°
E 24.477539°		 →
↑
2 092.87 m
↓
↑
2 092.87 m
↓
N 31.052934°
E 24.455566°		 ← 2 093.13 m →
4 380 233 m²		 N 31.052934°
E 24.477539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9305 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6703 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567962646484375 y=0.409149169921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567962646484375 × 214)
    floor (0.567962646484375 × 16384)
    floor (9305.5)     		tx = 9305
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.409149169921875 × 214)
    floor (0.409149169921875 × 16384)
    floor (6703.5)     		ty = 6703
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9305 / 6703 ti = "14/9305/6703"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9305/6703.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9305 ÷ 214
    9305 ÷ 16384     		x = 0.56793212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6703 ÷ 214
    6703 ÷ 16384     		y = 0.40911865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56793212890625 × 2 - 1) × π
    0.1358642578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42683015
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40911865234375 × 2 - 1) × π
    0.1817626953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.571024348274109
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42683015} λ = 0.42683015}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.571024348274109))-π/2
    2×atan(1.77007930076481)-π/2
    2×1.05655038583056-π/2
    2.11310077166111-1.57079632675     		φ = 0.54230444
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42683015} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.455566°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54230444 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.071756°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9305 KachelY 6703 0.42683015 0.54230444 24.455566 31.071756
    Oben rechts KachelX + 1 9306 KachelY 6703 0.42721365 0.54230444 24.477539 31.071756
    Unten links KachelX 9305 KachelY + 1 6704 0.42683015 0.54197594 24.455566 31.052934
    Unten rechts KachelX + 1 9306 KachelY + 1 6704 0.42721365 0.54197594 24.477539 31.052934
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54230444-0.54197594) × R
    0.000328499999999954 × 6371000     		dl = 2092.87349999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54230444-0.54197594) × R
    0.000328499999999954 × 6371000     		dr = 2092.87349999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42683015-0.42721365) × cos(0.54230444) × R
    0.000383499999999981 × 0.856521609462021 × 6371000     		do = 2092.72083318385m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42683015-0.42721365) × cos(0.54197594) × R
    0.000383499999999981 × 0.856691105761415 × 6371000     		du = 2093.13495984799m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54230444)-sin(0.54197594))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.856521609462021-0.856691105761415)×R²
    abs(0.42721365-0.42683015)×0.000169496299394112×R²
    0.000383499999999981×0.000169496299394112×6371000²
    0.000383499999999981×0.000169496299394112×40589641000000     		ar = 4380233.37141815m²