Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9305 / 25675
↖ ↑ ↗
← S 70.884288°
W 77.772217°		 ← 400.06 m → S 70.884288°
W 77.761230°		 →
↑
399.97 m
↓
↑
399.97 m
↓
S 70.887885°
W 77.772217°		 ← 399.99 m →
159 998 m²		 S 70.887885°
W 77.761230°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9305 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25675 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.283981323242188 y=0.783554077148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.283981323242188 × 215)
    floor (0.283981323242188 × 32768)
    floor (9305.5)     		tx = 9305
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.783554077148438 × 215)
    floor (0.783554077148438 × 32768)
    floor (25675.5)     		ty = 25675
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9305 / 25675 ti = "15/9305/25675"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9305/25675.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9305 ÷ 215
    9305 ÷ 32768     		x = 0.283966064453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25675 ÷ 215
    25675 ÷ 32768     		y = 0.783538818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.283966064453125 × 2 - 1) × π
    -0.43206787109375 × 3.1415926535     		Λ = -1.35738125
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.783538818359375 × 2 - 1) × π
    -0.56707763671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.78152693747977
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.35738125} λ = -1.35738125}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.78152693747977))-π/2
    2×atan(0.168380843854119)-π/2
    2×0.166816060453008-π/2
    0.333632120906016-1.57079632675     		φ = -1.23716421
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.35738125} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -77.772217°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23716421 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.884288°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9305 KachelY 25675 -1.35738125 -1.23716421 -77.772217 -70.884288
    Oben rechts KachelX + 1 9306 KachelY 25675 -1.35718950 -1.23716421 -77.761230 -70.884288
    Unten links KachelX 9305 KachelY + 1 25676 -1.35738125 -1.23722699 -77.772217 -70.887885
    Unten rechts KachelX + 1 9306 KachelY + 1 25676 -1.35718950 -1.23722699 -77.761230 -70.887885
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23716421--1.23722699) × R
    6.2779999999929e-05 × 6371000     		dl = 399.971379999548m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23716421--1.23722699) × R
    6.2779999999929e-05 × 6371000     		dr = 399.971379999548m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.35738125--1.35718950) × cos(-1.23716421) × R
    0.000191749999999935 × 0.32747701969481 × 6371000     		do = 400.058780732067m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.35738125--1.35718950) × cos(-1.23722699) × R
    0.000191749999999935 × 0.327417700792455 × 6371000     		du = 399.986314432684m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23716421)-sin(-1.23722699))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32747701969481-0.327417700792455)×R²
    abs(-1.35718950--1.35738125)×5.93189023543328e-05×R²
    0.000191749999999935×5.93189023543328e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.93189023543328e-05×40589641000000     		ar = 159997.570439961m²