Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9304 / 7658
↖ ↑ ↗
← N 11.652236°
E 24.433594°		 ← 2 392.86 m → N 11.652236°
E 24.455566°		 →
↑
2 393.01 m
↓
↑
2 393.01 m
↓
N 11.630716°
E 24.433594°		 ← 2 393.05 m →
5 726 372 m²		 N 11.630716°
E 24.455566°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9304 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7658 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567901611328125 y=0.467437744140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567901611328125 × 214)
    floor (0.567901611328125 × 16384)
    floor (9304.5)     		tx = 9304
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.467437744140625 × 214)
    floor (0.467437744140625 × 16384)
    floor (7658.5)     		ty = 7658
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9304 / 7658 ti = "14/9304/7658"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9304/7658.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9304 ÷ 214
    9304 ÷ 16384     		x = 0.56787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7658 ÷ 214
    7658 ÷ 16384     		y = 0.4674072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56787109375 × 2 - 1) × π
    0.1357421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42644666
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4674072265625 × 2 - 1) × π
    0.065185546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.20478643517688
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42644666} λ = 0.42644666}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.20478643517688))-π/2
    2×atan(1.22726293678148)-π/2
    2×0.887083108630861-π/2
    1.77416621726172-1.57079632675     		φ = 0.20336989
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42644666} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.433594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20336989 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.652236°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9304 KachelY 7658 0.42644666 0.20336989 24.433594 11.652236
    Oben rechts KachelX + 1 9305 KachelY 7658 0.42683015 0.20336989 24.455566 11.652236
    Unten links KachelX 9304 KachelY + 1 7659 0.42644666 0.20299428 24.433594 11.630716
    Unten rechts KachelX + 1 9305 KachelY + 1 7659 0.42683015 0.20299428 24.455566 11.630716
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20336989-0.20299428) × R
    0.000375609999999998 × 6371000     		dl = 2393.01130999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20336989-0.20299428) × R
    0.000375609999999998 × 6371000     		dr = 2393.01130999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42644666-0.42683015) × cos(0.20336989) × R
    0.000383490000000042 × 0.979391520426746 × 6371000     		do = 2392.86384790748m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42644666-0.42683015) × cos(0.20299428) × R
    0.000383490000000042 × 0.979467313631928 × 6371000     		du = 2393.04902698736m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20336989)-sin(0.20299428))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.979391520426746-0.979467313631928)×R²
    abs(0.42683015-0.42644666)×7.57932051814736e-05×R²
    0.000383490000000042×7.57932051814736e-05×6371000²
    0.000383490000000042×7.57932051814736e-05×40589641000000     		ar = 5726371.88647307m²