Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9304 / 6666
↖ ↑ ↗
← N 31.765538°
E 24.433594°		 ← 2 077.24 m → N 31.765538°
E 24.455566°		 →
↑
2 077.52 m
↓
↑
2 077.52 m
↓
N 31.746854°
E 24.433594°		 ← 2 077.66 m →
4 315 951 m²		 N 31.746854°
E 24.455566°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9304 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6666 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567901611328125 y=0.406890869140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567901611328125 × 214)
    floor (0.567901611328125 × 16384)
    floor (9304.5)     		tx = 9304
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406890869140625 × 214)
    floor (0.406890869140625 × 16384)
    floor (6666.5)     		ty = 6666
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9304 / 6666 ti = "14/9304/6666"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9304/6666.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9304 ÷ 214
    9304 ÷ 16384     		x = 0.56787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6666 ÷ 214
    6666 ÷ 16384     		y = 0.4068603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56787109375 × 2 - 1) × π
    0.1357421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42644666
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4068603515625 × 2 - 1) × π
    0.186279296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.585213670561646
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42644666} λ = 0.42644666}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.585213670561646))-π/2
    2×atan(1.79537456335012)-π/2
    2×1.0626047716208-π/2
    2.12520954324161-1.57079632675     		φ = 0.55441322
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42644666} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.433594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55441322 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.765538°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9304 KachelY 6666 0.42644666 0.55441322 24.433594 31.765538
    Oben rechts KachelX + 1 9305 KachelY 6666 0.42683015 0.55441322 24.455566 31.765538
    Unten links KachelX 9304 KachelY + 1 6667 0.42644666 0.55408713 24.433594 31.746854
    Unten rechts KachelX + 1 9305 KachelY + 1 6667 0.42683015 0.55408713 24.455566 31.746854
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55441322-0.55408713) × R
    0.000326090000000057 × 6371000     		dl = 2077.51939000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55441322-0.55408713) × R
    0.000326090000000057 × 6371000     		dr = 2077.51939000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42644666-0.42683015) × cos(0.55441322) × R
    0.000383490000000042 × 0.850209493726849 × 6371000     		do = 2077.24440967208m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42644666-0.42683015) × cos(0.55408713) × R
    0.000383490000000042 × 0.85038111680904 × 6371000     		du = 2077.66372172479m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55441322)-sin(0.55408713))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.850209493726849-0.85038111680904)×R²
    abs(0.42683015-0.42644666)×0.000171623082191763×R²
    0.000383490000000042×0.000171623082191763×6371000²
    0.000383490000000042×0.000171623082191763×40589641000000     		ar = 4315951.14156791m²