Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9303 / 6699
↖ ↑ ↗
← N 31.147006°
E 24.411621°		 ← 2 091.06 m → N 31.147006°
E 24.433594°		 →
↑
2 091.22 m
↓
↑
2 091.22 m
↓
N 31.128199°
E 24.411621°		 ← 2 091.48 m →
4 373 300 m²		 N 31.128199°
E 24.433594°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9303 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6699 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567840576171875 y=0.408905029296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567840576171875 × 214)
    floor (0.567840576171875 × 16384)
    floor (9303.5)     		tx = 9303
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.408905029296875 × 214)
    floor (0.408905029296875 × 16384)
    floor (6699.5)     		ty = 6699
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9303 / 6699 ti = "14/9303/6699"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9303/6699.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9303 ÷ 214
    9303 ÷ 16384     		x = 0.56781005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6699 ÷ 214
    6699 ÷ 16384     		y = 0.40887451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56781005859375 × 2 - 1) × π
    0.1356201171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42606316
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40887451171875 × 2 - 1) × π
    0.1822509765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.572558329061951
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42606316} λ = 0.42606316}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.572558329061951))-π/2
    2×atan(1.77279665205462)-π/2
    2×1.05720706950232-π/2
    2.11441413900465-1.57079632675     		φ = 0.54361781
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42606316} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.411621°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54361781 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.147006°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9303 KachelY 6699 0.42606316 0.54361781 24.411621 31.147006
    Oben rechts KachelX + 1 9304 KachelY 6699 0.42644666 0.54361781 24.433594 31.147006
    Unten links KachelX 9303 KachelY + 1 6700 0.42606316 0.54328957 24.411621 31.128199
    Unten rechts KachelX + 1 9304 KachelY + 1 6700 0.42644666 0.54328957 24.433594 31.128199
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54361781-0.54328957) × R
    0.00032823999999998 × 6371000     		dl = 2091.21703999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54361781-0.54328957) × R
    0.00032823999999998 × 6371000     		dr = 2091.21703999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42606316-0.42644666) × cos(0.54361781) × R
    0.000383499999999981 × 0.855843026014397 × 6371000     		do = 2091.06286483581m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42606316-0.42644666) × cos(0.54328957) × R
    0.000383499999999981 × 0.856012757335308 × 6371000     		du = 2091.47756572297m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54361781)-sin(0.54328957))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.855843026014397-0.856012757335308)×R²
    abs(0.42644666-0.42606316)×0.000169731320911914×R²
    0.000383499999999981×0.000169731320911914×6371000²
    0.000383499999999981×0.000169731320911914×40589641000000     		ar = 4373299.94870251m²