Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9301 / 6745
↖ ↑ ↗
← N 30.278045°
E 24.367676°		 ← 2 109.99 m → N 30.278045°
E 24.389649°		 →
↑
2 110.20 m
↓
↑
2 110.20 m
↓
N 30.259067°
E 24.367676°		 ← 2 110.40 m →
4 452 933 m²		 N 30.259067°
E 24.389649°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9301 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6745 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567718505859375 y=0.411712646484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567718505859375 × 214)
    floor (0.567718505859375 × 16384)
    floor (9301.5)     		tx = 9301
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.411712646484375 × 214)
    floor (0.411712646484375 × 16384)
    floor (6745.5)     		ty = 6745
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9301 / 6745 ti = "14/9301/6745"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9301/6745.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9301 ÷ 214
    9301 ÷ 16384     		x = 0.56768798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6745 ÷ 214
    6745 ÷ 16384     		y = 0.41168212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56768798828125 × 2 - 1) × π
    0.1353759765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42529617
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41168212890625 × 2 - 1) × π
    0.1766357421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.55491755000177
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42529617} λ = 0.42529617}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.55491755000177))-π/2
    2×atan(1.74179736766366)-π/2
    2×1.04962394611939-π/2
    2.09924789223877-1.57079632675     		φ = 0.52845157
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42529617} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.367676°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52845157 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.278045°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9301 KachelY 6745 0.42529617 0.52845157 24.367676 30.278045
    Oben rechts KachelX + 1 9302 KachelY 6745 0.42567967 0.52845157 24.389649 30.278045
    Unten links KachelX 9301 KachelY + 1 6746 0.42529617 0.52812035 24.367676 30.259067
    Unten rechts KachelX + 1 9302 KachelY + 1 6746 0.42567967 0.52812035 24.389649 30.259067
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52845157-0.52812035) × R
    0.000331219999999965 × 6371000     		dl = 2110.20261999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52845157-0.52812035) × R
    0.000331219999999965 × 6371000     		dr = 2110.20261999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42529617-0.42567967) × cos(0.52845157) × R
    0.000383500000000037 × 0.863588818845269 × 6371000     		do = 2109.98799392524m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42529617-0.42567967) × cos(0.52812035) × R
    0.000383500000000037 × 0.863755771515487 × 6371000     		du = 2110.3959057949m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52845157)-sin(0.52812035))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.863588818845269-0.863755771515487)×R²
    abs(0.42567967-0.42529617)×0.000166952670217824×R²
    0.000383500000000037×0.000166952670217824×6371000²
    0.000383500000000037×0.000166952670217824×40589641000000     		ar = 4452932.62200738m²