Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9300 / 6674
↖ ↑ ↗
← N 31.615966°
E 24.345703°		 ← 2 080.60 m → N 31.615966°
E 24.367676°		 →
↑
2 080.83 m
↓
↑
2 080.83 m
↓
N 31.597252°
E 24.345703°		 ← 2 081.01 m →
4 329 804 m²		 N 31.597252°
E 24.367676°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9300 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6674 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567657470703125 y=0.407379150390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567657470703125 × 214)
    floor (0.567657470703125 × 16384)
    floor (9300.5)     		tx = 9300
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.407379150390625 × 214)
    floor (0.407379150390625 × 16384)
    floor (6674.5)     		ty = 6674
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9300 / 6674 ti = "14/9300/6674"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9300/6674.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9300 ÷ 214
    9300 ÷ 16384     		x = 0.567626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6674 ÷ 214
    6674 ÷ 16384     		y = 0.4073486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567626953125 × 2 - 1) × π
    0.13525390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42491268
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4073486328125 × 2 - 1) × π
    0.185302734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.582145708985962
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42491268} λ = 0.42491268}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.582145708985962))-π/2
    2×atan(1.78987486392284)-π/2
    2×1.0612995142853-π/2
    2.12259902857061-1.57079632675     		φ = 0.55180270
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42491268} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.345703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55180270 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.615966°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9300 KachelY 6674 0.42491268 0.55180270 24.345703 31.615966
    Oben rechts KachelX + 1 9301 KachelY 6674 0.42529617 0.55180270 24.367676 31.615966
    Unten links KachelX 9300 KachelY + 1 6675 0.42491268 0.55147609 24.345703 31.597252
    Unten rechts KachelX + 1 9301 KachelY + 1 6675 0.42529617 0.55147609 24.367676 31.597252
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55180270-0.55147609) × R
    0.000326610000000005 × 6371000     		dl = 2080.83231000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55180270-0.55147609) × R
    0.000326610000000005 × 6371000     		dr = 2080.83231000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42491268-0.42529617) × cos(0.55180270) × R
    0.000383489999999986 × 0.851580889066527 × 6371000     		do = 2080.59502304861m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42491268-0.42529617) × cos(0.55147609) × R
    0.000383489999999986 × 0.851752060190113 × 6371000     		du = 2081.01323086938m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55180270)-sin(0.55147609))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.851580889066527-0.851752060190113)×R²
    abs(0.42529617-0.42491268)×0.000171171123585667×R²
    0.000383489999999986×0.000171171123585667×6371000²
    0.000383489999999986×0.000171171123585667×40589641000000     		ar = 4329804.49664632m²