Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 930 / 1341
↖ ↑ ↗
← S 48.574790°
W 16.523438°		 ← 12.932 km → S 48.574790°
W 16.347656°		 →
↑
12.918 km
↓
↑
12.918 km
↓
S 48.690960°
W 16.523438°		 ← 12.903 km →
166.863 km²		 S 48.690960°
W 16.347656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 930 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1341 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454345703125 y=0.655029296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454345703125 × 211)
    floor (0.454345703125 × 2048)
    floor (930.5)     		tx = 930
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655029296875 × 211)
    floor (0.655029296875 × 2048)
    floor (1341.5)     		ty = 1341
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 930 / 1341 ti = "11/930/1341"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/930/1341.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 930 ÷ 211
    930 ÷ 2048     		x = 0.4541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1341 ÷ 211
    1341 ÷ 2048     		y = 0.65478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4541015625 × 2 - 1) × π
    -0.091796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.28838839
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65478515625 × 2 - 1) × π
    -0.3095703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.972543819491699
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28838839} λ = -0.28838839}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.972543819491699))-π/2
    2×atan(0.378119944769246)-π/2
    2×0.361503154701528-π/2
    0.723006309403057-1.57079632675     		φ = -0.84779002
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28838839} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.523438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84779002 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.574790°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 930 KachelY 1341 -0.28838839 -0.84779002 -16.523438 -48.574790
    Oben rechts KachelX + 1 931 KachelY 1341 -0.28532043 -0.84779002 -16.347656 -48.574790
    Unten links KachelX 930 KachelY + 1 1342 -0.28838839 -0.84981757 -16.523438 -48.690960
    Unten rechts KachelX + 1 931 KachelY + 1 1342 -0.28532043 -0.84981757 -16.347656 -48.690960
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84779002--0.84981757) × R
    0.00202754999999999 × 6371000     		dl = 12917.5210499999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84779002--0.84981757) × R
    0.00202754999999999 × 6371000     		dr = 12917.5210499999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28838839--0.28532043) × cos(-0.84779002) × R
    0.00306795999999998 × 0.661641847521221 × 6371000     		do = 12932.4337931825m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28838839--0.28532043) × cos(-0.84981757) × R
    0.00306795999999998 × 0.66012019098618 × 6371000     		du = 12902.6915353899m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84779002)-sin(-0.84981757))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.661641847521221-0.66012019098618)×R²
    abs(-0.28532043--0.28838839)×0.00152165653504122×R²
    0.00306795999999998×0.00152165653504122×6371000²
    0.00306795999999998×0.00152165653504122×40589641000000     		ar = 166862944.794519m²