Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 93 / 107
↖ ↑ ↗
← N 28.304381°
W 49.218750°		 ← 137.673 km → N 28.304381°
W 47.812500°		 →
↑
138.466 km
↓
↑
138.466 km
↓
N 27.059126°
W 49.218750°		 ← 139.251 km →
19 173 km²		 N 27.059126°
W 47.812500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 93 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 107 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.365234375 y=0.419921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.365234375 × 28)
    floor (0.365234375 × 256)
    floor (93.5)     		tx = 93
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419921875 × 28)
    floor (0.419921875 × 256)
    floor (107.5)     		ty = 107
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 93 / 107 ti = "8/93/107"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/93/107.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 93 ÷ 28
    93 ÷ 256     		x = 0.36328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 107 ÷ 28
    107 ÷ 256     		y = 0.41796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36328125 × 2 - 1) × π
    -0.2734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.85902924
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41796875 × 2 - 1) × π
    0.1640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.515417544714844
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85902924} λ = -0.85902924}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.515417544714844))-π/2
    2×atan(1.67433746662289)-π/2
    2×1.03240048121875-π/2
    2.06480096243751-1.57079632675     		φ = 0.49400464
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85902924} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.218750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49400464 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.304381°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 93 KachelY 107 -0.85902924 0.49400464 -49.218750 28.304381
    Oben rechts KachelX + 1 94 KachelY 107 -0.83448555 0.49400464 -47.812500 28.304381
    Unten links KachelX 93 KachelY + 1 108 -0.85902924 0.47227084 -49.218750 27.059126
    Unten rechts KachelX + 1 94 KachelY + 1 108 -0.83448555 0.47227084 -47.812500 27.059126
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49400464-0.47227084) × R
    0.0217338 × 6371000     		dl = 138466.0398m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49400464-0.47227084) × R
    0.0217338 × 6371000     		dr = 138466.0398m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85902924--0.83448555) × cos(0.49400464) × R
    0.02454369 × 0.880441101351802 × 6371000     		do = 137672.681180768m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85902924--0.83448555) × cos(0.47227084) × R
    0.02454369 × 0.890537558006442 × 6371000     		du = 139251.442390275m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49400464)-sin(0.47227084))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.880441101351802-0.890537558006442)×R²
    abs(-0.83448555--0.85902924)×0.0100964566546403×R²
    0.02454369×0.0100964566546403×6371000²
    0.02454369×0.0100964566546403×40589641000000     		ar = 19173048075.9124m²