Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9299 / 6705
↖ ↑ ↗
← N 31.034108°
E 24.323730°		 ← 2 093.55 m → N 31.034108°
E 24.345703°		 →
↑
2 093.70 m
↓
↑
2 093.70 m
↓
N 31.015279°
E 24.323730°		 ← 2 093.96 m →
4 383 700 m²		 N 31.015279°
E 24.345703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9299 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6705 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567596435546875 y=0.409271240234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567596435546875 × 214)
    floor (0.567596435546875 × 16384)
    floor (9299.5)     		tx = 9299
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.409271240234375 × 214)
    floor (0.409271240234375 × 16384)
    floor (6705.5)     		ty = 6705
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9299 / 6705 ti = "14/9299/6705"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9299/6705.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9299 ÷ 214
    9299 ÷ 16384     		x = 0.56756591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6705 ÷ 214
    6705 ÷ 16384     		y = 0.40924072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56756591796875 × 2 - 1) × π
    0.1351318359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42452918
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40924072265625 × 2 - 1) × π
    0.1815185546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.570257357880188
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42452918} λ = 0.42452918}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.570257357880188))-π/2
    2×atan(1.76872218745761)-π/2
    2×1.05622184891007-π/2
    2.11244369782014-1.57079632675     		φ = 0.54164737
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42452918} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.323730°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54164737 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.034108°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9299 KachelY 6705 0.42452918 0.54164737 24.323730 31.034108
    Oben rechts KachelX + 1 9300 KachelY 6705 0.42491268 0.54164737 24.345703 31.034108
    Unten links KachelX 9299 KachelY + 1 6706 0.42452918 0.54131874 24.323730 31.015279
    Unten rechts KachelX + 1 9300 KachelY + 1 6706 0.42491268 0.54131874 24.345703 31.015279
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54164737-0.54131874) × R
    0.000328629999999941 × 6371000     		dl = 2093.70172999962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54164737-0.54131874) × R
    0.000328629999999941 × 6371000     		dr = 2093.70172999962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42452918-0.42491268) × cos(0.54164737) × R
    0.000383499999999981 × 0.856860545701725 × 6371000     		do = 2093.54894881119m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42452918-0.42491268) × cos(0.54131874) × R
    0.000383499999999981 × 0.857029924052875 × 6371000     		du = 2093.96278729492m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54164737)-sin(0.54131874))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.856860545701725-0.857029924052875)×R²
    abs(0.42491268-0.42452918)×0.000169378351150273×R²
    0.000383499999999981×0.000169378351150273×6371000²
    0.000383499999999981×0.000169378351150273×40589641000000     		ar = 4383700.3225922m²