Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9299 / 6661
↖ ↑ ↗
← N 31.858897°
E 24.323730°		 ← 2 075.20 m → N 31.858897°
E 24.345703°		 →
↑
2 075.42 m
↓
↑
2 075.42 m
↓
N 31.840232°
E 24.323730°		 ← 2 075.62 m →
4 307 341 m²		 N 31.840232°
E 24.345703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9299 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6661 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567596435546875 y=0.406585693359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567596435546875 × 214)
    floor (0.567596435546875 × 16384)
    floor (9299.5)     		tx = 9299
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406585693359375 × 214)
    floor (0.406585693359375 × 16384)
    floor (6661.5)     		ty = 6661
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9299 / 6661 ti = "14/9299/6661"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9299/6661.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9299 ÷ 214
    9299 ÷ 16384     		x = 0.56756591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6661 ÷ 214
    6661 ÷ 16384     		y = 0.40655517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56756591796875 × 2 - 1) × π
    0.1351318359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42452918
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40655517578125 × 2 - 1) × π
    0.1868896484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.587131146546448
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42452918} λ = 0.42452918}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.587131146546448))-π/2
    2×atan(1.79882045360918)-π/2
    2×1.06341948813013-π/2
    2.12683897626027-1.57079632675     		φ = 0.55604265
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42452918} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.323730°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55604265 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.858897°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9299 KachelY 6661 0.42452918 0.55604265 24.323730 31.858897
    Oben rechts KachelX + 1 9300 KachelY 6661 0.42491268 0.55604265 24.345703 31.858897
    Unten links KachelX 9299 KachelY + 1 6662 0.42452918 0.55571689 24.323730 31.840232
    Unten rechts KachelX + 1 9300 KachelY + 1 6662 0.42491268 0.55571689 24.345703 31.840232
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55604265-0.55571689) × R
    0.000325759999999953 × 6371000     		dl = 2075.4169599997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55604265-0.55571689) × R
    0.000325759999999953 × 6371000     		dr = 2075.4169599997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42452918-0.42491268) × cos(0.55604265) × R
    0.000383499999999981 × 0.849350560965995 × 6371000     		do = 2075.19996457105m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42452918-0.42491268) × cos(0.55571689) × R
    0.000383499999999981 × 0.849522461524508 × 6371000     		du = 2075.61996550981m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55604265)-sin(0.55571689))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.849350560965995-0.849522461524508)×R²
    abs(0.42491268-0.42452918)×0.000171900558512572×R²
    0.000383499999999981×0.000171900558512572×6371000²
    0.000383499999999981×0.000171900558512572×40589641000000     		ar = 4307341.0784876m²