Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9298 / 9686
↖ ↑ ↗
← S 31.165810°
E 24.301758°		 ← 2 090.59 m → S 31.165810°
E 24.323730°		 →
↑
2 090.45 m
↓
↑
2 090.45 m
↓
S 31.184609°
E 24.301758°		 ← 2 090.18 m →
4 369 853 m²		 S 31.184609°
E 24.323730°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9298 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9686 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567535400390625 y=0.591217041015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567535400390625 × 214)
    floor (0.567535400390625 × 16384)
    floor (9298.5)     		tx = 9298
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591217041015625 × 214)
    floor (0.591217041015625 × 16384)
    floor (9686.5)     		ty = 9686
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9298 / 9686 ti = "14/9298/9686"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9298/9686.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9298 ÷ 214
    9298 ÷ 16384     		x = 0.5675048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9686 ÷ 214
    9686 ÷ 16384     		y = 0.5911865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5675048828125 × 2 - 1) × π
    0.135009765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42414569
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5911865234375 × 2 - 1) × π
    -0.182373046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.572941824258911
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42414569} λ = 0.42414569}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.572941824258911))-π/2
    2×atan(0.563864206968912)-π/2
    2×0.51342516772555-π/2
    1.0268503354511-1.57079632675     		φ = -0.54394599
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42414569} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.301758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54394599 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.165810°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9298 KachelY 9686 0.42414569 -0.54394599 24.301758 -31.165810
    Oben rechts KachelX + 1 9299 KachelY 9686 0.42452918 -0.54394599 24.323730 -31.165810
    Unten links KachelX 9298 KachelY + 1 9687 0.42414569 -0.54427411 24.301758 -31.184609
    Unten rechts KachelX + 1 9299 KachelY + 1 9687 0.42452918 -0.54427411 24.323730 -31.184609
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54394599--0.54427411) × R
    0.000328120000000043 × 6371000     		dl = 2090.45252000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54394599--0.54427411) × R
    0.000328120000000043 × 6371000     		dr = 2090.45252000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42414569-0.42452918) × cos(-0.54394599) × R
    0.000383489999999986 × 0.855673233534667 × 6371000     		do = 2090.59349957895m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42414569-0.42452918) × cos(-0.54427411) × R
    0.000383489999999986 × 0.855503379964959 × 6371000     		du = 2090.1785108253m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54394599)-sin(-0.54427411))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.855673233534667-0.855503379964959)×R²
    abs(0.42452918-0.42414569)×0.000169853569708445×R²
    0.000383489999999986×0.000169853569708445×6371000²
    0.000383489999999986×0.000169853569708445×40589641000000     		ar = 4369852.73155475m²