Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9297 / 9812
↖ ↑ ↗
← S 33.504759°
E 24.279785°		 ← 2 037.30 m → S 33.504759°
E 24.301758°		 →
↑
2 037.06 m
↓
↑
2 037.06 m
↓
S 33.523079°
E 24.279785°		 ← 2 036.87 m →
4 149 677 m²		 S 33.523079°
E 24.301758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9297 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9812 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567474365234375 y=0.598907470703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567474365234375 × 214)
    floor (0.567474365234375 × 16384)
    floor (9297.5)     		tx = 9297
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598907470703125 × 214)
    floor (0.598907470703125 × 16384)
    floor (9812.5)     		ty = 9812
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9297 / 9812 ti = "14/9297/9812"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9297/9812.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9297 ÷ 214
    9297 ÷ 16384     		x = 0.56744384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9812 ÷ 214
    9812 ÷ 16384     		y = 0.598876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56744384765625 × 2 - 1) × π
    0.1348876953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42376219
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.598876953125 × 2 - 1) × π
    -0.19775390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.621262219075928
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42376219} λ = 0.42376219}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.621262219075928))-π/2
    2×atan(0.537265862209243)-π/2
    2×0.493013982982139-π/2
    0.986027965964277-1.57079632675     		φ = -0.58476836
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42376219} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.279785°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58476836 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.504759°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9297 KachelY 9812 0.42376219 -0.58476836 24.279785 -33.504759
    Oben rechts KachelX + 1 9298 KachelY 9812 0.42414569 -0.58476836 24.301758 -33.504759
    Unten links KachelX 9297 KachelY + 1 9813 0.42376219 -0.58508810 24.279785 -33.523079
    Unten rechts KachelX + 1 9298 KachelY + 1 9813 0.42414569 -0.58508810 24.301758 -33.523079
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58476836--0.58508810) × R
    0.000319740000000013 × 6371000     		dl = 2037.06354000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58476836--0.58508810) × R
    0.000319740000000013 × 6371000     		dr = 2037.06354000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42376219-0.42414569) × cos(-0.58476836) × R
    0.000383500000000037 × 0.833839974983535 × 6371000     		do = 2037.303283318m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42376219-0.42414569) × cos(-0.58508810) × R
    0.000383500000000037 × 0.833663433886043 × 6371000     		du = 2036.87194425014m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58476836)-sin(-0.58508810))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.833839974983535-0.833663433886043)×R²
    abs(0.42414569-0.42376219)×0.000176541097491545×R²
    0.000383500000000037×0.000176541097491545×6371000²
    0.000383500000000037×0.000176541097491545×40589641000000     		ar = 4149676.94117747m²