Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9297 / 9681
↖ ↑ ↗
← S 31.071756°
E 24.279785°		 ← 2 092.72 m → S 31.071756°
E 24.301758°		 →
↑
2 092.49 m
↓
↑
2 092.49 m
↓
S 31.090574°
E 24.279785°		 ← 2 092.31 m →
4 378 567 m²		 S 31.090574°
E 24.301758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9297 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9681 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567474365234375 y=0.590911865234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567474365234375 × 214)
    floor (0.567474365234375 × 16384)
    floor (9297.5)     		tx = 9297
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590911865234375 × 214)
    floor (0.590911865234375 × 16384)
    floor (9681.5)     		ty = 9681
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9297 / 9681 ti = "14/9297/9681"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9297/9681.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9297 ÷ 214
    9297 ÷ 16384     		x = 0.56744384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9681 ÷ 214
    9681 ÷ 16384     		y = 0.59088134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56744384765625 × 2 - 1) × π
    0.1348876953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42376219
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59088134765625 × 2 - 1) × π
    -0.1817626953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.571024348274109
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42376219} λ = 0.42376219}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.571024348274109))-π/2
    2×atan(0.564946440291079)-π/2
    2×0.514245940964341-π/2
    1.02849188192868-1.57079632675     		φ = -0.54230444
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42376219} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.279785°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54230444 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.071756°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9297 KachelY 9681 0.42376219 -0.54230444 24.279785 -31.071756
    Oben rechts KachelX + 1 9298 KachelY 9681 0.42414569 -0.54230444 24.301758 -31.071756
    Unten links KachelX 9297 KachelY + 1 9682 0.42376219 -0.54263288 24.279785 -31.090574
    Unten rechts KachelX + 1 9298 KachelY + 1 9682 0.42414569 -0.54263288 24.301758 -31.090574
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54230444--0.54263288) × R
    0.000328439999999985 × 6371000     		dl = 2092.49123999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54230444--0.54263288) × R
    0.000328439999999985 × 6371000     		dr = 2092.49123999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42376219-0.42414569) × cos(-0.54230444) × R
    0.000383500000000037 × 0.856521609462021 × 6371000     		do = 2092.72083318415m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42376219-0.42414569) × cos(-0.54263288) × R
    0.000383500000000037 × 0.856352051717002 × 6371000     		du = 2092.30655639124m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54230444)-sin(-0.54263288))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.856521609462021-0.856352051717002)×R²
    abs(0.42414569-0.42376219)×0.0001695577450187×R²
    0.000383500000000037×0.0001695577450187×6371000²
    0.000383500000000037×0.0001695577450187×40589641000000     		ar = 4378566.6152847m²