Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9297 / 6749
↖ ↑ ↗
← N 30.202113°
E 24.279785°		 ← 2 111.62 m → N 30.202113°
E 24.301758°		 →
↑
2 111.80 m
↓
↑
2 111.80 m
↓
N 30.183122°
E 24.279785°		 ← 2 112.03 m →
4 459 737 m²		 N 30.183122°
E 24.301758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9297 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6749 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567474365234375 y=0.411956787109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567474365234375 × 214)
    floor (0.567474365234375 × 16384)
    floor (9297.5)     		tx = 9297
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.411956787109375 × 214)
    floor (0.411956787109375 × 16384)
    floor (6749.5)     		ty = 6749
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9297 / 6749 ti = "14/9297/6749"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9297/6749.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9297 ÷ 214
    9297 ÷ 16384     		x = 0.56744384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6749 ÷ 214
    6749 ÷ 16384     		y = 0.41192626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56744384765625 × 2 - 1) × π
    0.1348876953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42376219
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41192626953125 × 2 - 1) × π
    0.1761474609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.553383569213928
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42376219} λ = 0.42376219}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.553383569213928))-π/2
    2×atan(1.73912753222702)-π/2
    2×1.04896132577155-π/2
    2.09792265154309-1.57079632675     		φ = 0.52712632
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42376219} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.279785°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52712632 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.202113°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9297 KachelY 6749 0.42376219 0.52712632 24.279785 30.202113
    Oben rechts KachelX + 1 9298 KachelY 6749 0.42414569 0.52712632 24.301758 30.202113
    Unten links KachelX 9297 KachelY + 1 6750 0.42376219 0.52679485 24.279785 30.183122
    Unten rechts KachelX + 1 9298 KachelY + 1 6750 0.42414569 0.52679485 24.301758 30.183122
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52712632-0.52679485) × R
    0.00033147 × 6371000     		dl = 2111.79537m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52712632-0.52679485) × R
    0.00033147 × 6371000     		dr = 2111.79537m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42376219-0.42414569) × cos(0.52712632) × R
    0.000383500000000037 × 0.864256247023457 × 6371000     		do = 2111.6187068433m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42376219-0.42414569) × cos(0.52679485) × R
    0.000383500000000037 × 0.864422946130178 × 6371000     		du = 2112.02599918672m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52712632)-sin(0.52679485))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.864256247023457-0.864422946130178)×R²
    abs(0.42414569-0.42376219)×0.000166699106721069×R²
    0.000383500000000037×0.000166699106721069×6371000²
    0.000383500000000037×0.000166699106721069×40589641000000     		ar = 4459736.70819333m²