Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9296 / 7600
↖ ↑ ↗
← N 12.897489°
E 24.257813°		 ← 2 381.57 m → N 12.897489°
E 24.279785°		 →
↑
2 381.67 m
↓
↑
2 381.67 m
↓
N 12.876070°
E 24.257813°		 ← 2 381.78 m →
5 672 370 m²		 N 12.876070°
E 24.279785°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9296 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7600 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567413330078125 y=0.463897705078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567413330078125 × 214)
    floor (0.567413330078125 × 16384)
    floor (9296.5)     		tx = 9296
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.463897705078125 × 214)
    floor (0.463897705078125 × 16384)
    floor (7600.5)     		ty = 7600
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9296 / 7600 ti = "14/9296/7600"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9296/7600.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9296 ÷ 214
    9296 ÷ 16384     		x = 0.5673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7600 ÷ 214
    7600 ÷ 16384     		y = 0.4638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5673828125 × 2 - 1) × π
    0.134765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42337870
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4638671875 × 2 - 1) × π
    0.072265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.227029156600586
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42337870} λ = 0.42337870}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.227029156600586))-π/2
    2×atan(1.25486645504692)-π/2
    2×0.897949989142734-π/2
    1.79589997828547-1.57079632675     		φ = 0.22510365
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42337870} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.257813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.22510365 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.897489°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9296 KachelY 7600 0.42337870 0.22510365 24.257813 12.897489
    Oben rechts KachelX + 1 9297 KachelY 7600 0.42376219 0.22510365 24.279785 12.897489
    Unten links KachelX 9296 KachelY + 1 7601 0.42337870 0.22472982 24.257813 12.876070
    Unten rechts KachelX + 1 9297 KachelY + 1 7601 0.42376219 0.22472982 24.279785 12.876070
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.22510365-0.22472982) × R
    0.000373829999999992 × 6371000     		dl = 2381.67092999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.22510365-0.22472982) × R
    0.000373829999999992 × 6371000     		dr = 2381.67092999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42337870-0.42376219) × cos(0.22510365) × R
    0.000383489999999986 × 0.974770976858286 × 6371000     		do = 2381.57486752283m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42337870-0.42376219) × cos(0.22472982) × R
    0.000383489999999986 × 0.974854350366495 × 6371000     		du = 2381.77856691118m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.22510365)-sin(0.22472982))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.974770976858286-0.974854350366495)×R²
    abs(0.42376219-0.42337870)×8.33735082088616e-05×R²
    0.000383489999999986×8.33735082088616e-05×6371000²
    0.000383489999999986×8.33735082088616e-05×40589641000000     		ar = 5672370.26811245m²