Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9296 / 25552
↖ ↑ ↗
← S 70.436799°
W 77.871094°		 ← 409.06 m → S 70.436799°
W 77.860107°		 →
↑
409.02 m
↓
↑
409.02 m
↓
S 70.440477°
W 77.871094°		 ← 408.99 m →
167 299 m²		 S 70.440477°
W 77.860107°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9296 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25552 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.283706665039062 y=0.779800415039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.283706665039062 × 215)
    floor (0.283706665039062 × 32768)
    floor (9296.5)     		tx = 9296
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779800415039062 × 215)
    floor (0.779800415039062 × 32768)
    floor (25552.5)     		ty = 25552
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9296 / 25552 ti = "15/9296/25552"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9296/25552.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9296 ÷ 215
    9296 ÷ 32768     		x = 0.28369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25552 ÷ 215
    25552 ÷ 32768     		y = 0.77978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.28369140625 × 2 - 1) × π
    -0.4326171875 × 3.1415926535     		Λ = -1.35910698
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77978515625 × 2 - 1) × π
    -0.5595703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.7579419828667
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.35910698} λ = -1.35910698}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7579419828667))-π/2
    2×atan(0.172399299692942)-π/2
    2×0.170721136431617-π/2
    0.341442272863235-1.57079632675     		φ = -1.22935405
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.35910698} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -77.871094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22935405 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.436799°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9296 KachelY 25552 -1.35910698 -1.22935405 -77.871094 -70.436799
    Oben rechts KachelX + 1 9297 KachelY 25552 -1.35891523 -1.22935405 -77.860107 -70.436799
    Unten links KachelX 9296 KachelY + 1 25553 -1.35910698 -1.22941825 -77.871094 -70.440477
    Unten rechts KachelX + 1 9297 KachelY + 1 25553 -1.35891523 -1.22941825 -77.860107 -70.440477
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22935405--1.22941825) × R
    6.41999999999587e-05 × 6371000     		dl = 409.018199999737m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22935405--1.22941825) × R
    6.41999999999587e-05 × 6371000     		dr = 409.018199999737m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.35910698--1.35891523) × cos(-1.22935405) × R
    0.000191749999999935 × 0.334846457993195 × 6371000     		do = 409.061575807825m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.35910698--1.35891523) × cos(-1.22941825) × R
    0.000191749999999935 × 0.334785963395552 × 6371000     		du = 408.987673232932m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22935405)-sin(-1.22941825))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.334846457993195-0.334785963395552)×R²
    abs(-1.35891523--1.35910698)×6.04945976429572e-05×R²
    0.000191749999999935×6.04945976429572e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.04945976429572e-05×40589641000000     		ar = 167298.515734076m²