Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9295 / 7601
↖ ↑ ↗
← N 12.876070°
E 24.235840°		 ← 2 381.84 m → N 12.876070°
E 24.257813°		 →
↑
2 381.93 m
↓
↑
2 381.93 m
↓
N 12.854649°
E 24.235840°		 ← 2 382.04 m →
5 673 610 m²		 N 12.854649°
E 24.257813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9295 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7601 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567352294921875 y=0.463958740234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567352294921875 × 214)
    floor (0.567352294921875 × 16384)
    floor (9295.5)     		tx = 9295
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.463958740234375 × 214)
    floor (0.463958740234375 × 16384)
    floor (7601.5)     		ty = 7601
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9295 / 7601 ti = "14/9295/7601"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9295/7601.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9295 ÷ 214
    9295 ÷ 16384     		x = 0.56732177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7601 ÷ 214
    7601 ÷ 16384     		y = 0.46392822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56732177734375 × 2 - 1) × π
    0.1346435546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42299520
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46392822265625 × 2 - 1) × π
    0.0721435546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.226645661403625
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42299520} λ = 0.42299520}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.226645661403625))-π/2
    2×atan(1.25438531205249)-π/2
    2×0.897763071153391-π/2
    1.79552614230678-1.57079632675     		φ = 0.22472982
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42299520} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.235840°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.22472982 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.876070°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9295 KachelY 7601 0.42299520 0.22472982 24.235840 12.876070
    Oben rechts KachelX + 1 9296 KachelY 7601 0.42337870 0.22472982 24.257813 12.876070
    Unten links KachelX 9295 KachelY + 1 7602 0.42299520 0.22435595 24.235840 12.854649
    Unten rechts KachelX + 1 9296 KachelY + 1 7602 0.42337870 0.22435595 24.257813 12.854649
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.22472982-0.22435595) × R
    0.000373869999999998 × 6371000     		dl = 2381.92576999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.22472982-0.22435595) × R
    0.000373869999999998 × 6371000     		dr = 2381.92576999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42299520-0.42337870) × cos(0.22472982) × R
    0.000383499999999981 × 0.974854350366495 × 6371000     		do = 2381.84067488181m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42299520-0.42337870) × cos(0.22435595) × R
    0.000383499999999981 × 0.974937596539053 × 6371000     		du = 2382.04406846543m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.22472982)-sin(0.22435595))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.974854350366495-0.974937596539053)×R²
    abs(0.42337870-0.42299520)×8.32461725583933e-05×R²
    0.000383499999999981×8.32461725583933e-05×6371000²
    0.000383499999999981×8.32461725583933e-05×40589641000000     		ar = 5673609.98383186m²