Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9295 / 6769
↖ ↑ ↗
← N 29.821583°
E 24.235840°		 ← 2 119.74 m → N 29.821583°
E 24.257813°		 →
↑
2 119.95 m
↓
↑
2 119.95 m
↓
N 29.802518°
E 24.235840°		 ← 2 120.14 m →
4 494 161 m²		 N 29.802518°
E 24.257813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9295 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6769 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567352294921875 y=0.413177490234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567352294921875 × 214)
    floor (0.567352294921875 × 16384)
    floor (9295.5)     		tx = 9295
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.413177490234375 × 214)
    floor (0.413177490234375 × 16384)
    floor (6769.5)     		ty = 6769
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9295 / 6769 ti = "14/9295/6769"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9295/6769.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9295 ÷ 214
    9295 ÷ 16384     		x = 0.56732177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6769 ÷ 214
    6769 ÷ 16384     		y = 0.41314697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56732177734375 × 2 - 1) × π
    0.1346435546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42299520
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41314697265625 × 2 - 1) × π
    0.1737060546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.545713665274719
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42299520} λ = 0.42299520}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.545713665274719))-π/2
    2×atan(1.72583961478308)-π/2
    2×1.04564056670562-π/2
    2.09128113341125-1.57079632675     		φ = 0.52048481
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42299520} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.235840°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52048481 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.821583°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9295 KachelY 6769 0.42299520 0.52048481 24.235840 29.821583
    Oben rechts KachelX + 1 9296 KachelY 6769 0.42337870 0.52048481 24.257813 29.821583
    Unten links KachelX 9295 KachelY + 1 6770 0.42299520 0.52015206 24.235840 29.802518
    Unten rechts KachelX + 1 9296 KachelY + 1 6770 0.42337870 0.52015206 24.257813 29.802518
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52048481-0.52015206) × R
    0.000332749999999993 × 6371000     		dl = 2119.95024999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52048481-0.52015206) × R
    0.000332749999999993 × 6371000     		dr = 2119.95024999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42299520-0.42337870) × cos(0.52048481) × R
    0.000383499999999981 × 0.867578185241031 × 6371000     		do = 2119.73512706832m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42299520-0.42337870) × cos(0.52015206) × R
    0.000383499999999981 × 0.867743614051217 × 6371000     		du = 2120.13931572353m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52048481)-sin(0.52015206))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.867578185241031-0.867743614051217)×R²
    abs(0.42337870-0.42299520)×0.00016542881018633×R²
    0.000383499999999981×0.00016542881018633×6371000²
    0.000383499999999981×0.00016542881018633×40589641000000     		ar = 4494161.48394999m²