Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9294 / 9651
↖ ↑ ↗
← S 30.505484°
E 24.213867°		 ← 2 105.03 m → S 30.505484°
E 24.235840°		 →
↑
2 104.85 m
↓
↑
2 104.85 m
↓
S 30.524413°
E 24.213867°		 ← 2 104.62 m →
4 430 336 m²		 S 30.524413°
E 24.235840°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9294 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9651 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567291259765625 y=0.589080810546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567291259765625 × 214)
    floor (0.567291259765625 × 16384)
    floor (9294.5)     		tx = 9294
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589080810546875 × 214)
    floor (0.589080810546875 × 16384)
    floor (9651.5)     		ty = 9651
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9294 / 9651 ti = "14/9294/9651"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9294/9651.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9294 ÷ 214
    9294 ÷ 16384     		x = 0.5672607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9651 ÷ 214
    9651 ÷ 16384     		y = 0.58905029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5672607421875 × 2 - 1) × π
    0.134521484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42261171
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58905029296875 × 2 - 1) × π
    -0.1781005859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.559519492365295
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42261171} λ = 0.42261171}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.559519492365295))-π/2
    2×atan(0.571483600118111)-π/2
    2×0.519187596429139-π/2
    1.03837519285828-1.57079632675     		φ = -0.53242113
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42261171} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.213867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53242113 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.505484°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9294 KachelY 9651 0.42261171 -0.53242113 24.213867 -30.505484
    Oben rechts KachelX + 1 9295 KachelY 9651 0.42299520 -0.53242113 24.235840 -30.505484
    Unten links KachelX 9294 KachelY + 1 9652 0.42261171 -0.53275151 24.213867 -30.524413
    Unten rechts KachelX + 1 9295 KachelY + 1 9652 0.42299520 -0.53275151 24.235840 -30.524413
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53242113--0.53275151) × R
    0.000330379999999963 × 6371000     		dl = 2104.85097999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53242113--0.53275151) × R
    0.000330379999999963 × 6371000     		dr = 2104.85097999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42261171-0.42299520) × cos(-0.53242113) × R
    0.000383490000000042 × 0.861580580941742 × 6371000     		do = 2105.02641813389m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42261171-0.42299520) × cos(-0.53275151) × R
    0.000383490000000042 × 0.861412826155277 × 6371000     		du = 2104.6165571585m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53242113)-sin(-0.53275151))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.861580580941742-0.861412826155277)×R²
    abs(0.42299520-0.42261171)×0.000167754786464802×R²
    0.000383490000000042×0.000167754786464802×6371000²
    0.000383490000000042×0.000167754786464802×40589641000000     		ar = 4430335.61129527m²