Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9294 / 11278
↖ ↑ ↗
← S 55.949200°
E 24.213867°		 ← 1 368.02 m → S 55.949200°
E 24.235840°		 →
↑
1 367.85 m
↓
↑
1 367.85 m
↓
S 55.961501°
E 24.213867°		 ← 1 367.59 m →
1 870 959 m²		 S 55.961501°
E 24.235840°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9294 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11278 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567291259765625 y=0.688385009765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567291259765625 × 214)
    floor (0.567291259765625 × 16384)
    floor (9294.5)     		tx = 9294
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.688385009765625 × 214)
    floor (0.688385009765625 × 16384)
    floor (11278.5)     		ty = 11278
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9294 / 11278 ti = "14/9294/11278"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9294/11278.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9294 ÷ 214
    9294 ÷ 16384     		x = 0.5672607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11278 ÷ 214
    11278 ÷ 16384     		y = 0.6883544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5672607421875 × 2 - 1) × π
    0.134521484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42261171
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6883544921875 × 2 - 1) × π
    -0.376708984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.18346617781995
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42261171} λ = 0.42261171}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.18346617781995))-π/2
    2×atan(0.306215499605077)-π/2
    2×0.297149288019922-π/2
    0.594298576039845-1.57079632675     		φ = -0.97649775
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42261171} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.213867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97649775 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.949200°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9294 KachelY 11278 0.42261171 -0.97649775 24.213867 -55.949200
    Oben rechts KachelX + 1 9295 KachelY 11278 0.42299520 -0.97649775 24.235840 -55.949200
    Unten links KachelX 9294 KachelY + 1 11279 0.42261171 -0.97671245 24.213867 -55.961501
    Unten rechts KachelX + 1 9295 KachelY + 1 11279 0.42299520 -0.97671245 24.235840 -55.961501
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97649775--0.97671245) × R
    0.000214699999999901 × 6371000     		dl = 1367.85369999937m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97649775--0.97671245) × R
    0.000214699999999901 × 6371000     		dr = 1367.85369999937m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42261171-0.42299520) × cos(-0.97649775) × R
    0.000383490000000042 × 0.559927734088408 × 6371000     		do = 1368.02372125614m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42261171-0.42299520) × cos(-0.97671245) × R
    0.000383490000000042 × 0.55974983333545 × 6371000     		du = 1367.58907150535m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97649775)-sin(-0.97671245))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.559927734088408-0.55974983333545)×R²
    abs(0.42299520-0.42261171)×0.000177900752958648×R²
    0.000383490000000042×0.000177900752958648×6371000²
    0.000383490000000042×0.000177900752958648×40589641000000     		ar = 1870959.04735905m²