Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9293 / 7658
↖ ↑ ↗
← N 11.652236°
E 24.191894°		 ← 2 392.93 m → N 11.652236°
E 24.213867°		 →
↑
2 393.01 m
↓
↑
2 393.01 m
↓
N 11.630716°
E 24.191894°		 ← 2 393.11 m →
5 726 521 m²		 N 11.630716°
E 24.213867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9293 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7658 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567230224609375 y=0.467437744140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567230224609375 × 214)
    floor (0.567230224609375 × 16384)
    floor (9293.5)     		tx = 9293
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.467437744140625 × 214)
    floor (0.467437744140625 × 16384)
    floor (7658.5)     		ty = 7658
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9293 / 7658 ti = "14/9293/7658"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9293/7658.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9293 ÷ 214
    9293 ÷ 16384     		x = 0.56719970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7658 ÷ 214
    7658 ÷ 16384     		y = 0.4674072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56719970703125 × 2 - 1) × π
    0.1343994140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42222821
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4674072265625 × 2 - 1) × π
    0.065185546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.20478643517688
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42222821} λ = 0.42222821}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.20478643517688))-π/2
    2×atan(1.22726293678148)-π/2
    2×0.887083108630861-π/2
    1.77416621726172-1.57079632675     		φ = 0.20336989
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42222821} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.191894°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20336989 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.652236°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9293 KachelY 7658 0.42222821 0.20336989 24.191894 11.652236
    Oben rechts KachelX + 1 9294 KachelY 7658 0.42261171 0.20336989 24.213867 11.652236
    Unten links KachelX 9293 KachelY + 1 7659 0.42222821 0.20299428 24.191894 11.630716
    Unten rechts KachelX + 1 9294 KachelY + 1 7659 0.42261171 0.20299428 24.213867 11.630716
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20336989-0.20299428) × R
    0.000375609999999998 × 6371000     		dl = 2393.01130999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20336989-0.20299428) × R
    0.000375609999999998 × 6371000     		dr = 2393.01130999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42222821-0.42261171) × cos(0.20336989) × R
    0.000383499999999981 × 0.979391520426746 × 6371000     		do = 2392.92624494086m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42222821-0.42261171) × cos(0.20299428) × R
    0.000383499999999981 × 0.979467313631928 × 6371000     		du = 2393.11142884953m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20336989)-sin(0.20299428))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.979391520426746-0.979467313631928)×R²
    abs(0.42261171-0.42222821)×7.57932051814736e-05×R²
    0.000383499999999981×7.57932051814736e-05×6371000²
    0.000383499999999981×7.57932051814736e-05×40589641000000     		ar = 5726521.2090591m²