Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 9293 / 6770
↖ ↑ ↗
← N 29.802518°
E 24.191894°		 ← 2 120.14 m → N 29.802518°
E 24.213867°		 →
↑
2 120.27 m
↓
↑
2 120.27 m
↓
N 29.783450°
E 24.191894°		 ← 2 120.54 m →
4 495 694 m²		 N 29.783450°
E 24.213867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9293 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6770 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567230224609375 y=0.413238525390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567230224609375 × 214)
    floor (0.567230224609375 × 16384)
    floor (9293.5)     		tx = 9293
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.413238525390625 × 214)
    floor (0.413238525390625 × 16384)
    floor (6770.5)     		ty = 6770
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9293 / 6770 ti = "14/9293/6770"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9293/6770.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9293 ÷ 214
    9293 ÷ 16384     		x = 0.56719970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6770 ÷ 214
    6770 ÷ 16384     		y = 0.4132080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56719970703125 × 2 - 1) × π
    0.1343994140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42222821
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4132080078125 × 2 - 1) × π
    0.173583984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.545330170077759
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42222821} λ = 0.42222821}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.545330170077759))-π/2
    2×atan(1.72517789047224)-π/2
    2×1.04547419481076-π/2
    2.09094838962153-1.57079632675     		φ = 0.52015206
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42222821} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.191894°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52015206 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.802518°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9293 KachelY 6770 0.42222821 0.52015206 24.191894 29.802518
    Oben rechts KachelX + 1 9294 KachelY 6770 0.42261171 0.52015206 24.213867 29.802518
    Unten links KachelX 9293 KachelY + 1 6771 0.42222821 0.51981926 24.191894 29.783450
    Unten rechts KachelX + 1 9294 KachelY + 1 6771 0.42261171 0.51981926 24.213867 29.783450
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52015206-0.51981926) × R
    0.000332800000000022 × 6371000     		dl = 2120.26880000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52015206-0.51981926) × R
    0.000332800000000022 × 6371000     		dr = 2120.26880000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42222821-0.42261171) × cos(0.52015206) × R
    0.000383499999999981 × 0.867743614051217 × 6371000     		do = 2120.13931572353m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42222821-0.42261171) × cos(0.51981926) × R
    0.000383499999999981 × 0.867908971618773 × 6371000     		du = 2120.54333031315m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52015206)-sin(0.51981926))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.867743614051217-0.867908971618773)×R²
    abs(0.42261171-0.42222821)×0.000165357567555646×R²
    0.000383499999999981×0.000165357567555646×6371000²
    0.000383499999999981×0.000165357567555646×40589641000000     		ar = 4495693.59404024m²