Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9292 / 9624
↖ ↑ ↗
← S 29.993002°
E 24.169922°		 ← 2 116.04 m → S 29.993002°
E 24.191894°		 →
↑
2 115.87 m
↓
↑
2 115.87 m
↓
S 30.012031°
E 24.169922°		 ← 2 115.63 m →
4 476 832 m²		 S 30.012031°
E 24.191894°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9292 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9624 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567169189453125 y=0.587432861328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567169189453125 × 214)
    floor (0.567169189453125 × 16384)
    floor (9292.5)     		tx = 9292
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.587432861328125 × 214)
    floor (0.587432861328125 × 16384)
    floor (9624.5)     		ty = 9624
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9292 / 9624 ti = "14/9292/9624"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9292/9624.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9292 ÷ 214
    9292 ÷ 16384     		x = 0.567138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9624 ÷ 214
    9624 ÷ 16384     		y = 0.58740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567138671875 × 2 - 1) × π
    0.13427734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42184472
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58740234375 × 2 - 1) × π
    -0.1748046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.549165122047363
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42184472} λ = 0.42184472}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.549165122047363))-π/2
    2×atan(0.577431694186043)-π/2
    2×0.523659842192447-π/2
    1.04731968438489-1.57079632675     		φ = -0.52347664
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42184472} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.169922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52347664 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.993002°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9292 KachelY 9624 0.42184472 -0.52347664 24.169922 -29.993002
    Oben rechts KachelX + 1 9293 KachelY 9624 0.42222821 -0.52347664 24.191894 -29.993002
    Unten links KachelX 9292 KachelY + 1 9625 0.42184472 -0.52380875 24.169922 -30.012031
    Unten rechts KachelX + 1 9293 KachelY + 1 9625 0.42222821 -0.52380875 24.191894 -30.012031
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52347664--0.52380875) × R
    0.000332109999999997 × 6371000     		dl = 2115.87280999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52347664--0.52380875) × R
    0.000332109999999997 × 6371000     		dr = 2115.87280999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42184472-0.42222821) × cos(-0.52347664) × R
    0.000383489999999986 × 0.866086465124141 × 6371000     		do = 2116.03526101004m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42184472-0.42222821) × cos(-0.52380875) × R
    0.000383489999999986 × 0.865920397493155 × 6371000     		du = 2115.62952211788m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52347664)-sin(-0.52380875))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.866086465124141-0.865920397493155)×R²
    abs(0.42222821-0.42184472)×0.000166067630985922×R²
    0.000383489999999986×0.000166067630985922×6371000²
    0.000383489999999986×0.000166067630985922×40589641000000     		ar = 4476832.26897556m²