Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9291 / 7577
↖ ↑ ↗
← N 13.389620°
E 24.147949°		 ← 2 376.86 m → N 13.389620°
E 24.169922°		 →
↑
2 376.96 m
↓
↑
2 376.96 m
↓
N 13.368243°
E 24.147949°		 ← 2 377.08 m →
5 649 955 m²		 N 13.368243°
E 24.169922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9291 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7577 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567108154296875 y=0.462493896484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567108154296875 × 214)
    floor (0.567108154296875 × 16384)
    floor (9291.5)     		tx = 9291
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.462493896484375 × 214)
    floor (0.462493896484375 × 16384)
    floor (7577.5)     		ty = 7577
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9291 / 7577 ti = "14/9291/7577"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9291/7577.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9291 ÷ 214
    9291 ÷ 16384     		x = 0.56707763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7577 ÷ 214
    7577 ÷ 16384     		y = 0.46246337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56707763671875 × 2 - 1) × π
    0.1341552734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42146122
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46246337890625 × 2 - 1) × π
    0.0750732421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.235849546130676
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42146122} λ = 0.42146122}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.235849546130676))-π/2
    2×atan(1.26598382367275)-π/2
    2×0.902244637126937-π/2
    1.80448927425387-1.57079632675     		φ = 0.23369295
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42146122} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.147949°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23369295 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.389620°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9291 KachelY 7577 0.42146122 0.23369295 24.147949 13.389620
    Oben rechts KachelX + 1 9292 KachelY 7577 0.42184472 0.23369295 24.169922 13.389620
    Unten links KachelX 9291 KachelY + 1 7578 0.42146122 0.23331986 24.147949 13.368243
    Unten rechts KachelX + 1 9292 KachelY + 1 7578 0.42184472 0.23331986 24.169922 13.368243
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23369295-0.23331986) × R
    0.00037309000000002 × 6371000     		dl = 2376.95639000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23369295-0.23331986) × R
    0.00037309000000002 × 6371000     		dr = 2376.95639000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42146122-0.42184472) × cos(0.23369295) × R
    0.000383499999999981 × 0.972817847958441 × 6371000     		do = 2376.86493233301m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42146122-0.42184472) × cos(0.23331986) × R
    0.000383499999999981 × 0.972904177321606 × 6371000     		du = 2377.07585900995m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23369295)-sin(0.23331986))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.972817847958441-0.972904177321606)×R²
    abs(0.42184472-0.42146122)×8.63293631653272e-05×R²
    0.000383499999999981×8.63293631653272e-05×6371000²
    0.000383499999999981×8.63293631653272e-05×40589641000000     		ar = 5649955.0363701m²