Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9291 / 7037
↖ ↑ ↗
← N 24.587090°
E 24.147949°		 ← 2 221.75 m → N 24.587090°
E 24.169922°		 →
↑
2 221.89 m
↓
↑
2 221.89 m
↓
N 24.567108°
E 24.147949°		 ← 2 222.10 m →
4 936 861 m²		 N 24.567108°
E 24.169922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9291 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7037 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567108154296875 y=0.429534912109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567108154296875 × 214)
    floor (0.567108154296875 × 16384)
    floor (9291.5)     		tx = 9291
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429534912109375 × 214)
    floor (0.429534912109375 × 16384)
    floor (7037.5)     		ty = 7037
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9291 / 7037 ti = "14/9291/7037"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9291/7037.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9291 ÷ 214
    9291 ÷ 16384     		x = 0.56707763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7037 ÷ 214
    7037 ÷ 16384     		y = 0.42950439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56707763671875 × 2 - 1) × π
    0.1341552734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42146122
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42950439453125 × 2 - 1) × π
    0.1409912109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.442936952489319
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42146122} λ = 0.42146122}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.442936952489319))-π/2
    2×atan(1.5572741489881)-π/2
    2×0.999961003343941-π/2
    1.99992200668788-1.57079632675     		φ = 0.42912568
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42146122} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.147949°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42912568 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.587090°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9291 KachelY 7037 0.42146122 0.42912568 24.147949 24.587090
    Oben rechts KachelX + 1 9292 KachelY 7037 0.42184472 0.42912568 24.169922 24.587090
    Unten links KachelX 9291 KachelY + 1 7038 0.42146122 0.42877693 24.147949 24.567108
    Unten rechts KachelX + 1 9292 KachelY + 1 7038 0.42184472 0.42877693 24.169922 24.567108
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42912568-0.42877693) × R
    0.000348750000000009 × 6371000     		dl = 2221.88625000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42912568-0.42877693) × R
    0.000348750000000009 × 6371000     		dr = 2221.88625000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42146122-0.42184472) × cos(0.42912568) × R
    0.000383499999999981 × 0.909329880685624 × 6371000     		do = 2221.74614688664m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42146122-0.42184472) × cos(0.42877693) × R
    0.000383499999999981 × 0.909474931859145 × 6371000     		du = 2222.1005473003m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42912568)-sin(0.42877693))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.909329880685624-0.909474931859145)×R²
    abs(0.42184472-0.42146122)×0.000145051173521371×R²
    0.000383499999999981×0.000145051173521371×6371000²
    0.000383499999999981×0.000145051173521371×40589641000000     		ar = 4936860.98349863m²