Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9291 / 6762
↖ ↑ ↗
← N 29.954935°
E 24.147949°		 ← 2 116.90 m → N 29.954935°
E 24.169922°		 →
↑
2 117.08 m
↓
↑
2 117.08 m
↓
N 29.935895°
E 24.147949°		 ← 2 117.31 m →
4 482 086 m²		 N 29.935895°
E 24.169922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9291 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6762 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567108154296875 y=0.412750244140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567108154296875 × 214)
    floor (0.567108154296875 × 16384)
    floor (9291.5)     		tx = 9291
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.412750244140625 × 214)
    floor (0.412750244140625 × 16384)
    floor (6762.5)     		ty = 6762
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9291 / 6762 ti = "14/9291/6762"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9291/6762.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9291 ÷ 214
    9291 ÷ 16384     		x = 0.56707763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6762 ÷ 214
    6762 ÷ 16384     		y = 0.4127197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56707763671875 × 2 - 1) × π
    0.1341552734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42146122
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4127197265625 × 2 - 1) × π
    0.174560546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.548398131653442
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42146122} λ = 0.42146122}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.548398131653442))-π/2
    2×atan(1.73047879728279)-π/2
    2×1.04680428094611-π/2
    2.09360856189222-1.57079632675     		φ = 0.52281224
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42146122} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.147949°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52281224 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.954935°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9291 KachelY 6762 0.42146122 0.52281224 24.147949 29.954935
    Oben rechts KachelX + 1 9292 KachelY 6762 0.42184472 0.52281224 24.169922 29.954935
    Unten links KachelX 9291 KachelY + 1 6763 0.42146122 0.52247994 24.147949 29.935895
    Unten rechts KachelX + 1 9292 KachelY + 1 6763 0.42184472 0.52247994 24.169922 29.935895
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52281224-0.52247994) × R
    0.000332300000000063 × 6371000     		dl = 2117.0833000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52281224-0.52247994) × R
    0.000332300000000063 × 6371000     		dr = 2117.0833000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42146122-0.42184472) × cos(0.52281224) × R
    0.000383499999999981 × 0.866418403664834 × 6371000     		do = 2116.90145767851m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42146122-0.42184472) × cos(0.52247994) × R
    0.000383499999999981 × 0.866584279424621 × 6371000     		du = 2117.30673835607m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52281224)-sin(0.52247994))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.866418403664834-0.866584279424621)×R²
    abs(0.42184472-0.42146122)×0.000165875759786882×R²
    0.000383499999999981×0.000165875759786882×6371000²
    0.000383499999999981×0.000165875759786882×40589641000000     		ar = 4482085.77151825m²