Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 9291 / 25678
↖ ↑ ↗
← S 70.895078°
W 77.926026°		 ← 399.84 m → S 70.895078°
W 77.915039°		 →
↑
399.84 m
↓
↑
399.84 m
↓
S 70.898674°
W 77.926026°		 ← 399.77 m →
159 860 m²		 S 70.898674°
W 77.915039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9291 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25678 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.283554077148438 y=0.783645629882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.283554077148438 × 215)
    floor (0.283554077148438 × 32768)
    floor (9291.5)     		tx = 9291
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.783645629882812 × 215)
    floor (0.783645629882812 × 32768)
    floor (25678.5)     		ty = 25678
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9291 / 25678 ti = "15/9291/25678"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9291/25678.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9291 ÷ 215
    9291 ÷ 32768     		x = 0.283538818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25678 ÷ 215
    25678 ÷ 32768     		y = 0.78363037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.283538818359375 × 2 - 1) × π
    -0.43292236328125 × 3.1415926535     		Λ = -1.36006572
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78363037109375 × 2 - 1) × π
    -0.5672607421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.78210218027521
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36006572} λ = -1.36006572}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.78210218027521))-π/2
    2×atan(0.168284011840431)-π/2
    2×0.166721896646757-π/2
    0.333443793293513-1.57079632675     		φ = -1.23735253
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36006572} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -77.926026°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23735253 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.895078°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9291 KachelY 25678 -1.36006572 -1.23735253 -77.926026 -70.895078
    Oben rechts KachelX + 1 9292 KachelY 25678 -1.35987397 -1.23735253 -77.915039 -70.895078
    Unten links KachelX 9291 KachelY + 1 25679 -1.36006572 -1.23741529 -77.926026 -70.898674
    Unten rechts KachelX + 1 9292 KachelY + 1 25679 -1.35987397 -1.23741529 -77.915039 -70.898674
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23735253--1.23741529) × R
    6.27600000000506e-05 × 6371000     		dl = 399.843960000322m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23735253--1.23741529) × R
    6.27600000000506e-05 × 6371000     		dr = 399.843960000322m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36006572--1.35987397) × cos(-1.23735253) × R
    0.000191749999999935 × 0.327299078015015 × 6371000     		do = 399.841400191818m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36006572--1.35987397) × cos(-1.23741529) × R
    0.000191749999999935 × 0.327239774141217 × 6371000     		du = 399.768952251911m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23735253)-sin(-1.23741529))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.327299078015015-0.327239774141217)×R²
    abs(-1.35987397--1.36006572)×5.93038737973228e-05×R²
    0.000191749999999935×5.93038737973228e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.93038737973228e-05×40589641000000     		ar = 159859.684941871m²