Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9290 / 6654
↖ ↑ ↗
← N 31.989442°
E 24.125977°		 ← 2 072.20 m → N 31.989442°
E 24.147949°		 →
↑
2 072.49 m
↓
↑
2 072.49 m
↓
N 31.970804°
E 24.125977°		 ← 2 072.62 m →
4 295 047 m²		 N 31.970804°
E 24.147949°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9290 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6654 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567047119140625 y=0.406158447265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567047119140625 × 214)
    floor (0.567047119140625 × 16384)
    floor (9290.5)     		tx = 9290
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406158447265625 × 214)
    floor (0.406158447265625 × 16384)
    floor (6654.5)     		ty = 6654
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9290 / 6654 ti = "14/9290/6654"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9290/6654.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9290 ÷ 214
    9290 ÷ 16384     		x = 0.5670166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6654 ÷ 214
    6654 ÷ 16384     		y = 0.4061279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5670166015625 × 2 - 1) × π
    0.134033203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42107773
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4061279296875 × 2 - 1) × π
    0.187744140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.589815612925171
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42107773} λ = 0.42107773}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.589815612925171))-π/2
    2×atan(1.80365581391557)-π/2
    2×1.06455870636379-π/2
    2.12911741272758-1.57079632675     		φ = 0.55832109
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42107773} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.125977°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55832109 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.989442°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9290 KachelY 6654 0.42107773 0.55832109 24.125977 31.989442
    Oben rechts KachelX + 1 9291 KachelY 6654 0.42146122 0.55832109 24.147949 31.989442
    Unten links KachelX 9290 KachelY + 1 6655 0.42107773 0.55799579 24.125977 31.970804
    Unten rechts KachelX + 1 9291 KachelY + 1 6655 0.42146122 0.55799579 24.147949 31.970804
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55832109-0.55799579) × R
    0.000325299999999973 × 6371000     		dl = 2072.48629999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55832109-0.55799579) × R
    0.000325299999999973 × 6371000     		dr = 2072.48629999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42107773-0.42146122) × cos(0.55832109) × R
    0.000383490000000042 × 0.848145730318861 × 6371000     		do = 2072.20219239062m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42107773-0.42146122) × cos(0.55799579) × R
    0.000383490000000042 × 0.848318017339372 × 6371000     		du = 2072.62312658726m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55832109)-sin(0.55799579))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.848145730318861-0.848318017339372)×R²
    abs(0.42146122-0.42107773)×0.00017228702051153×R²
    0.000383490000000042×0.00017228702051153×6371000²
    0.000383490000000042×0.00017228702051153×40589641000000     		ar = 4295046.88261322m²