Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9290 / 6643
↖ ↑ ↗
← N 32.194209°
E 24.125977°		 ← 2 067.56 m → N 32.194209°
E 24.147949°		 →
↑
2 067.77 m
↓
↑
2 067.77 m
↓
N 32.175613°
E 24.125977°		 ← 2 067.99 m →
4 275 686 m²		 N 32.175613°
E 24.147949°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9290 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6643 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567047119140625 y=0.405487060546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567047119140625 × 214)
    floor (0.567047119140625 × 16384)
    floor (9290.5)     		tx = 9290
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.405487060546875 × 214)
    floor (0.405487060546875 × 16384)
    floor (6643.5)     		ty = 6643
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9290 / 6643 ti = "14/9290/6643"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9290/6643.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9290 ÷ 214
    9290 ÷ 16384     		x = 0.5670166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6643 ÷ 214
    6643 ÷ 16384     		y = 0.40545654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5670166015625 × 2 - 1) × π
    0.134033203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42107773
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40545654296875 × 2 - 1) × π
    0.1890869140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.594034060091736
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42107773} λ = 0.42107773}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.594034060091736))-π/2
    2×atan(1.81128051155834)-π/2
    2×1.06634563409816-π/2
    2.13269126819632-1.57079632675     		φ = 0.56189494
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42107773} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.125977°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56189494 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.194209°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9290 KachelY 6643 0.42107773 0.56189494 24.125977 32.194209
    Oben rechts KachelX + 1 9291 KachelY 6643 0.42146122 0.56189494 24.147949 32.194209
    Unten links KachelX 9290 KachelY + 1 6644 0.42107773 0.56157038 24.125977 32.175613
    Unten rechts KachelX + 1 9291 KachelY + 1 6644 0.42146122 0.56157038 24.147949 32.175613
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56189494-0.56157038) × R
    0.000324559999999918 × 6371000     		dl = 2067.77175999948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56189494-0.56157038) × R
    0.000324559999999918 × 6371000     		dr = 2067.77175999948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42107773-0.42146122) × cos(0.56189494) × R
    0.000383490000000042 × 0.846247024481568 × 6371000     		do = 2067.56324620708m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42107773-0.42146122) × cos(0.56157038) × R
    0.000383490000000042 × 0.846419902469899 × 6371000     		du = 2067.98562426504m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56189494)-sin(0.56157038))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.846247024481568-0.846419902469899)×R²
    abs(0.42146122-0.42107773)×0.000172877988331432×R²
    0.000383490000000042×0.000172877988331432×6371000²
    0.000383490000000042×0.000172877988331432×40589641000000     		ar = 4275685.62076275m²