Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9290 / 25676
↖ ↑ ↗
← S 70.887885°
W 77.937012°		 ← 399.97 m → S 70.887885°
W 77.926026°		 →
↑
399.97 m
↓
↑
399.97 m
↓
S 70.891482°
W 77.937012°		 ← 399.89 m →
159 960 m²		 S 70.891482°
W 77.926026°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9290 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25676 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.283523559570312 y=0.783584594726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.283523559570312 × 215)
    floor (0.283523559570312 × 32768)
    floor (9290.5)     		tx = 9290
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.783584594726562 × 215)
    floor (0.783584594726562 × 32768)
    floor (25676.5)     		ty = 25676
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9290 / 25676 ti = "15/9290/25676"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9290/25676.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9290 ÷ 215
    9290 ÷ 32768     		x = 0.28350830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25676 ÷ 215
    25676 ÷ 32768     		y = 0.7835693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.28350830078125 × 2 - 1) × π
    -0.4329833984375 × 3.1415926535     		Λ = -1.36025746
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7835693359375 × 2 - 1) × π
    -0.567138671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.78171868507825
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36025746} λ = -1.36025746}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.78171868507825))-π/2
    2×atan(0.168348560326923)-π/2
    2×0.166784666830562-π/2
    0.333569333661123-1.57079632675     		φ = -1.23722699
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36025746} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -77.937012°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23722699 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.887885°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9290 KachelY 25676 -1.36025746 -1.23722699 -77.937012 -70.887885
    Oben rechts KachelX + 1 9291 KachelY 25676 -1.36006572 -1.23722699 -77.926026 -70.887885
    Unten links KachelX 9290 KachelY + 1 25677 -1.36025746 -1.23728977 -77.937012 -70.891482
    Unten rechts KachelX + 1 9291 KachelY + 1 25677 -1.36006572 -1.23728977 -77.926026 -70.891482
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23722699--1.23728977) × R
    6.2780000000151e-05 × 6371000     		dl = 399.971380000962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23722699--1.23728977) × R
    6.2780000000151e-05 × 6371000     		dr = 399.971380000962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36025746--1.36006572) × cos(-1.23722699) × R
    0.000191739999999996 × 0.327417700792455 × 6371000     		do = 399.965454651093m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36025746--1.36006572) × cos(-1.23728977) × R
    0.000191739999999996 × 0.32735838059964 × 6371000     		du = 399.892990554522m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23722699)-sin(-1.23728977))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.327417700792455-0.32735838059964)×R²
    abs(-1.36006572--1.36025746)×5.93201928151821e-05×R²
    0.000191739999999996×5.93201928151821e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.93201928151821e-05×40589641000000     		ar = 159960.243119426m²