Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 9289 / 7653
↖ ↑ ↗
← N 11.759815°
E 24.104004°		 ← 2 392 m → N 11.759815°
E 24.125977°		 →
↑
2 392.06 m
↓
↑
2 392.06 m
↓
N 11.738303°
E 24.104004°		 ← 2 392.18 m →
5 722 010 m²		 N 11.738303°
E 24.125977°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9289 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7653 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566986083984375 y=0.467132568359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566986083984375 × 214)
    floor (0.566986083984375 × 16384)
    floor (9289.5)     		tx = 9289
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.467132568359375 × 214)
    floor (0.467132568359375 × 16384)
    floor (7653.5)     		ty = 7653
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9289 / 7653 ti = "14/9289/7653"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9289/7653.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9289 ÷ 214
    9289 ÷ 16384     		x = 0.56695556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7653 ÷ 214
    7653 ÷ 16384     		y = 0.46710205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56695556640625 × 2 - 1) × π
    0.1339111328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42069423
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46710205078125 × 2 - 1) × π
    0.0657958984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.206703911161682
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42069423} λ = 0.42069423}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.206703911161682))-π/2
    2×atan(1.22961844158003)-π/2
    2×0.888021906141235-π/2
    1.77604381228247-1.57079632675     		φ = 0.20524749
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42069423} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.104004°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20524749 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.759815°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9289 KachelY 7653 0.42069423 0.20524749 24.104004 11.759815
    Oben rechts KachelX + 1 9290 KachelY 7653 0.42107773 0.20524749 24.125977 11.759815
    Unten links KachelX 9289 KachelY + 1 7654 0.42069423 0.20487203 24.104004 11.738303
    Unten rechts KachelX + 1 9290 KachelY + 1 7654 0.42107773 0.20487203 24.125977 11.738303
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20524749-0.20487203) × R
    0.000375459999999994 × 6371000     		dl = 2392.05565999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20524749-0.20487203) × R
    0.000375459999999994 × 6371000     		dr = 2392.05565999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42069423-0.42107773) × cos(0.20524749) × R
    0.000383499999999981 × 0.979010573699236 × 6371000     		do = 2391.99548599189m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42069423-0.42107773) × cos(0.20487203) × R
    0.000383499999999981 × 0.979087026992179 × 6371000     		du = 2392.18228267879m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20524749)-sin(0.20487203))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.979010573699236-0.979087026992179)×R²
    abs(0.42107773-0.42069423)×7.6453292942924e-05×R²
    0.000383499999999981×7.6453292942924e-05×6371000²
    0.000383499999999981×7.6453292942924e-05×40589641000000     		ar = 5722009.82221655m²