Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9289 / 6743
↖ ↑ ↗
← N 30.315988°
E 24.104004°		 ← 2 109.17 m → N 30.315988°
E 24.125977°		 →
↑
2 109.31 m
↓
↑
2 109.31 m
↓
N 30.297018°
E 24.104004°		 ← 2 109.58 m →
4 449 329 m²		 N 30.297018°
E 24.125977°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9289 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6743 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566986083984375 y=0.411590576171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566986083984375 × 214)
    floor (0.566986083984375 × 16384)
    floor (9289.5)     		tx = 9289
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.411590576171875 × 214)
    floor (0.411590576171875 × 16384)
    floor (6743.5)     		ty = 6743
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9289 / 6743 ti = "14/9289/6743"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9289/6743.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9289 ÷ 214
    9289 ÷ 16384     		x = 0.56695556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6743 ÷ 214
    6743 ÷ 16384     		y = 0.41156005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56695556640625 × 2 - 1) × π
    0.1339111328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42069423
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41156005859375 × 2 - 1) × π
    0.1768798828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.555684540395691
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42069423} λ = 0.42069423}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.555684540395691))-π/2
    2×atan(1.74313382197111)-π/2
    2×1.04995506423209-π/2
    2.09991012846418-1.57079632675     		φ = 0.52911380
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42069423} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.104004°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52911380 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.315988°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9289 KachelY 6743 0.42069423 0.52911380 24.104004 30.315988
    Oben rechts KachelX + 1 9290 KachelY 6743 0.42107773 0.52911380 24.125977 30.315988
    Unten links KachelX 9289 KachelY + 1 6744 0.42069423 0.52878272 24.104004 30.297018
    Unten rechts KachelX + 1 9290 KachelY + 1 6744 0.42107773 0.52878272 24.125977 30.297018
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52911380-0.52878272) × R
    0.000331079999999928 × 6371000     		dl = 2109.31067999954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52911380-0.52878272) × R
    0.000331079999999928 × 6371000     		dr = 2109.31067999954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42069423-0.42107773) × cos(0.52911380) × R
    0.000383499999999981 × 0.863254735300163 × 6371000     		do = 2109.17173478197m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42069423-0.42107773) × cos(0.52878272) × R
    0.000383499999999981 × 0.863421806747373 × 6371000     		du = 2109.57993685691m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52911380)-sin(0.52878272))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.863254735300163-0.863421806747373)×R²
    abs(0.42107773-0.42069423)×0.000167071447210176×R²
    0.000383499999999981×0.000167071447210176×6371000²
    0.000383499999999981×0.000167071447210176×40589641000000     		ar = 4449329.01926983m²