Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9288 / 25752
↖ ↑ ↗
← S 71.159391°
W 77.958984°		 ← 394.51 m → S 71.159391°
W 77.947998°		 →
↑
394.49 m
↓
↑
394.49 m
↓
S 71.162939°
W 77.958984°		 ← 394.44 m →
155 618 m²		 S 71.162939°
W 77.947998°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9288 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25752 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.283462524414062 y=0.785903930664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.283462524414062 × 215)
    floor (0.283462524414062 × 32768)
    floor (9288.5)     		tx = 9288
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785903930664062 × 215)
    floor (0.785903930664062 × 32768)
    floor (25752.5)     		ty = 25752
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9288 / 25752 ti = "15/9288/25752"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9288/25752.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9288 ÷ 215
    9288 ÷ 32768     		x = 0.283447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25752 ÷ 215
    25752 ÷ 32768     		y = 0.785888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.283447265625 × 2 - 1) × π
    -0.43310546875 × 3.1415926535     		Λ = -1.36064096
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785888671875 × 2 - 1) × π
    -0.57177734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.79629150256274
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36064096} λ = -1.36064096}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79629150256274))-π/2
    2×atan(0.165913036805299)-π/2
    2×0.164415326436336-π/2
    0.328830652872672-1.57079632675     		φ = -1.24196567
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36064096} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -77.958984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24196567 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.159391°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9288 KachelY 25752 -1.36064096 -1.24196567 -77.958984 -71.159391
    Oben rechts KachelX + 1 9289 KachelY 25752 -1.36044921 -1.24196567 -77.947998 -71.159391
    Unten links KachelX 9288 KachelY + 1 25753 -1.36064096 -1.24202759 -77.958984 -71.162939
    Unten rechts KachelX + 1 9289 KachelY + 1 25753 -1.36044921 -1.24202759 -77.947998 -71.162939
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24196567--1.24202759) × R
    6.19200000000486e-05 × 6371000     		dl = 394.49232000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24196567--1.24202759) × R
    6.19200000000486e-05 × 6371000     		dr = 394.49232000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36064096--1.36044921) × cos(-1.24196567) × R
    0.000191749999999935 × 0.322936558918546 × 6371000     		do = 394.5119756347m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36064096--1.36044921) × cos(-1.24202759) × R
    0.000191749999999935 × 0.322877955935071 × 6371000     		du = 394.44038392992m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24196567)-sin(-1.24202759))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.322936558918546-0.322877955935071)×R²
    abs(-1.36044921--1.36064096)×5.86029834749868e-05×R²
    0.000191749999999935×5.86029834749868e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.86029834749868e-05×40589641000000     		ar = 155617.823396377m²