Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9287 / 9547
↖ ↑ ↗
← S 28.516969°
E 24.060059°		 ← 2 146.85 m → S 28.516969°
E 24.082031°		 →
↑
2 146.64 m
↓
↑
2 146.64 m
↓
S 28.536275°
E 24.060059°		 ← 2 146.46 m →
4 608 101 m²		 S 28.536275°
E 24.082031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9287 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9547 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566864013671875 y=0.582733154296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566864013671875 × 214)
    floor (0.566864013671875 × 16384)
    floor (9287.5)     		tx = 9287
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582733154296875 × 214)
    floor (0.582733154296875 × 16384)
    floor (9547.5)     		ty = 9547
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9287 / 9547 ti = "14/9287/9547"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9287/9547.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9287 ÷ 214
    9287 ÷ 16384     		x = 0.56683349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9547 ÷ 214
    9547 ÷ 16384     		y = 0.58270263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56683349609375 × 2 - 1) × π
    0.1336669921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.41992724
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58270263671875 × 2 - 1) × π
    -0.1654052734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.519635991881409
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41992724} λ = 0.41992724}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.519635991881409))-π/2
    2×atan(0.594736997668659)-π/2
    2×0.536540658691172-π/2
    1.07308131738234-1.57079632675     		φ = -0.49771501
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41992724} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.060059°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49771501 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.516969°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9287 KachelY 9547 0.41992724 -0.49771501 24.060059 -28.516969
    Oben rechts KachelX + 1 9288 KachelY 9547 0.42031074 -0.49771501 24.082031 -28.516969
    Unten links KachelX 9287 KachelY + 1 9548 0.41992724 -0.49805195 24.060059 -28.536275
    Unten rechts KachelX + 1 9288 KachelY + 1 9548 0.42031074 -0.49805195 24.082031 -28.536275
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49771501--0.49805195) × R
    0.000336940000000008 × 6371000     		dl = 2146.64474000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49771501--0.49805195) × R
    0.000336940000000008 × 6371000     		dr = 2146.64474000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41992724-0.42031074) × cos(-0.49771501) × R
    0.000383500000000037 × 0.878675752491587 × 6371000     		do = 2146.84957453422m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41992724-0.42031074) × cos(-0.49805195) × R
    0.000383500000000037 × 0.878514841052166 × 6371000     		du = 2146.45642307388m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49771501)-sin(-0.49805195))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.878675752491587-0.878514841052166)×R²
    abs(0.42031074-0.41992724)×0.00016091143942043×R²
    0.000383500000000037×0.00016091143942043×6371000²
    0.000383500000000037×0.00016091143942043×40589641000000     		ar = 4608101.41208348m²