Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9286 / 7102
↖ ↑ ↗
← N 23.281719°
E 24.038086°		 ← 2 244.27 m → N 23.281719°
E 24.060059°		 →
↑
2 244.50 m
↓
↑
2 244.50 m
↓
N 23.261534°
E 24.038086°		 ← 2 244.61 m →
5 037 653 m²		 N 23.261534°
E 24.060059°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9286 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7102 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566802978515625 y=0.433502197265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566802978515625 × 214)
    floor (0.566802978515625 × 16384)
    floor (9286.5)     		tx = 9286
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.433502197265625 × 214)
    floor (0.433502197265625 × 16384)
    floor (7102.5)     		ty = 7102
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9286 / 7102 ti = "14/9286/7102"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9286/7102.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9286 ÷ 214
    9286 ÷ 16384     		x = 0.5667724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7102 ÷ 214
    7102 ÷ 16384     		y = 0.4334716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5667724609375 × 2 - 1) × π
    0.133544921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.41954375
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4334716796875 × 2 - 1) × π
    0.133056640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.41800976468689
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41954375} λ = 0.41954375}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.41800976468689))-π/2
    2×atan(1.51893550625945)-π/2
    2×0.988569490961421-π/2
    1.97713898192284-1.57079632675     		φ = 0.40634266
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41954375} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.038086°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40634266 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.281719°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9286 KachelY 7102 0.41954375 0.40634266 24.038086 23.281719
    Oben rechts KachelX + 1 9287 KachelY 7102 0.41992724 0.40634266 24.060059 23.281719
    Unten links KachelX 9286 KachelY + 1 7103 0.41954375 0.40599036 24.038086 23.261534
    Unten rechts KachelX + 1 9287 KachelY + 1 7103 0.41992724 0.40599036 24.060059 23.261534
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40634266-0.40599036) × R
    0.000352300000000028 × 6371000     		dl = 2244.50330000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40634266-0.40599036) × R
    0.000352300000000028 × 6371000     		dr = 2244.50330000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41954375-0.41992724) × cos(0.40634266) × R
    0.000383489999999986 × 0.918572535646619 × 6371000     		do = 2244.27000477954m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41954375-0.41992724) × cos(0.40599036) × R
    0.000383489999999986 × 0.918711726076322 × 6371000     		du = 2244.61007689602m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40634266)-sin(0.40599036))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.918572535646619-0.918711726076322)×R²
    abs(0.41992724-0.41954375)×0.000139190429703673×R²
    0.000383489999999986×0.000139190429703673×6371000²
    0.000383489999999986×0.000139190429703673×40589641000000     		ar = 5037653.13041763m²