Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9285 / 7607
↖ ↑ ↗
← N 12.747516°
E 24.016113°		 ← 2 383.06 m → N 12.747516°
E 24.038086°		 →
↑
2 383.14 m
↓
↑
2 383.14 m
↓
N 12.726084°
E 24.016113°		 ← 2 383.26 m →
5 679 388 m²		 N 12.726084°
E 24.038086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9285 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7607 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566741943359375 y=0.464324951171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566741943359375 × 214)
    floor (0.566741943359375 × 16384)
    floor (9285.5)     		tx = 9285
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.464324951171875 × 214)
    floor (0.464324951171875 × 16384)
    floor (7607.5)     		ty = 7607
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9285 / 7607 ti = "14/9285/7607"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9285/7607.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9285 ÷ 214
    9285 ÷ 16384     		x = 0.56671142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7607 ÷ 214
    7607 ÷ 16384     		y = 0.46429443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56671142578125 × 2 - 1) × π
    0.1334228515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.41916025
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46429443359375 × 2 - 1) × π
    0.0714111328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.224344690221863
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41916025} λ = 0.41916025}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.224344690221863))-π/2
    2×atan(1.25150232570487)-π/2
    2×0.896641228619065-π/2
    1.79328245723813-1.57079632675     		φ = 0.22248613
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41916025} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.016113°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.22248613 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.747516°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9285 KachelY 7607 0.41916025 0.22248613 24.016113 12.747516
    Oben rechts KachelX + 1 9286 KachelY 7607 0.41954375 0.22248613 24.038086 12.747516
    Unten links KachelX 9285 KachelY + 1 7608 0.41916025 0.22211207 24.016113 12.726084
    Unten rechts KachelX + 1 9286 KachelY + 1 7608 0.41954375 0.22211207 24.038086 12.726084
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.22248613-0.22211207) × R
    0.000374060000000009 × 6371000     		dl = 2383.13626000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.22248613-0.22211207) × R
    0.000374060000000009 × 6371000     		dr = 2383.13626000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41916025-0.41954375) × cos(0.22248613) × R
    0.000383499999999981 × 0.975351886744073 × 6371000     		do = 2383.05629481611m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41916025-0.41954375) × cos(0.22211207) × R
    0.000383499999999981 × 0.975434356773038 × 6371000     		du = 2383.25779206478m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.22248613)-sin(0.22211207))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.975351886744073-0.975434356773038)×R²
    abs(0.41954375-0.41916025)×8.24700289645541e-05×R²
    0.000383499999999981×8.24700289645541e-05×6371000²
    0.000383499999999981×8.24700289645541e-05×40589641000000     		ar = 5679388.0297197m²