Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9284 / 6668
↖ ↑ ↗
← N 31.728167°
E 23.994141°		 ← 2 078.08 m → N 31.728167°
E 24.016113°		 →
↑
2 078.28 m
↓
↑
2 078.28 m
↓
N 31.709477°
E 23.994141°		 ← 2 078.50 m →
4 319 282 m²		 N 31.709477°
E 24.016113°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9284 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6668 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566680908203125 y=0.407012939453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566680908203125 × 214)
    floor (0.566680908203125 × 16384)
    floor (9284.5)     		tx = 9284
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.407012939453125 × 214)
    floor (0.407012939453125 × 16384)
    floor (6668.5)     		ty = 6668
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9284 / 6668 ti = "14/9284/6668"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9284/6668.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9284 ÷ 214
    9284 ÷ 16384     		x = 0.566650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6668 ÷ 214
    6668 ÷ 16384     		y = 0.406982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566650390625 × 2 - 1) × π
    0.13330078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.41877676
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.406982421875 × 2 - 1) × π
    0.18603515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.584446680167725
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41877676} λ = 0.41877676}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.584446680167725))-π/2
    2×atan(1.79399805625788)-π/2
    2×1.06227865455095-π/2
    2.1245573091019-1.57079632675     		φ = 0.55376098
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41877676} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.994141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55376098 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.728167°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9284 KachelY 6668 0.41877676 0.55376098 23.994141 31.728167
    Oben rechts KachelX + 1 9285 KachelY 6668 0.41916025 0.55376098 24.016113 31.728167
    Unten links KachelX 9284 KachelY + 1 6669 0.41877676 0.55343477 23.994141 31.709477
    Unten rechts KachelX + 1 9285 KachelY + 1 6669 0.41916025 0.55343477 24.016113 31.709477
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55376098-0.55343477) × R
    0.000326209999999993 × 6371000     		dl = 2078.28390999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55376098-0.55343477) × R
    0.000326209999999993 × 6371000     		dr = 2078.28390999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41877676-0.41916025) × cos(0.55376098) × R
    0.000383489999999986 × 0.850552681019615 × 6371000     		do = 2078.0828899412m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41877676-0.41916025) × cos(0.55343477) × R
    0.000383489999999986 × 0.850724186290394 × 6371000     		du = 2078.50191415533m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55376098)-sin(0.55343477))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.850552681019615-0.850724186290394)×R²
    abs(0.41916025-0.41877676)×0.000171505270778693×R²
    0.000383489999999986×0.000171505270778693×6371000²
    0.000383489999999986×0.000171505270778693×40589641000000     		ar = 4319281.69775528m²