Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 9282 / 7609
↖ ↑ ↗
← N 12.704650°
E 23.950195°		 ← 2 383.46 m → N 12.704650°
E 23.972168°		 →
↑
2 383.52 m
↓
↑
2 383.52 m
↓
N 12.683215°
E 23.950195°		 ← 2 383.66 m →
5 681 258 m²		 N 12.683215°
E 23.972168°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9282 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7609 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566558837890625 y=0.464447021484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566558837890625 × 214)
    floor (0.566558837890625 × 16384)
    floor (9282.5)     		tx = 9282
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.464447021484375 × 214)
    floor (0.464447021484375 × 16384)
    floor (7609.5)     		ty = 7609
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9282 / 7609 ti = "14/9282/7609"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9282/7609.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9282 ÷ 214
    9282 ÷ 16384     		x = 0.5665283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7609 ÷ 214
    7609 ÷ 16384     		y = 0.46441650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5665283203125 × 2 - 1) × π
    0.133056640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.41800976
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46441650390625 × 2 - 1) × π
    0.0711669921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.223577699827942
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41800976} λ = 0.41800976}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.223577699827942))-π/2
    2×atan(1.2505428034623)-π/2
    2×0.896267154236729-π/2
    1.79253430847346-1.57079632675     		φ = 0.22173798
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41800976} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.950195°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.22173798 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.704650°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9282 KachelY 7609 0.41800976 0.22173798 23.950195 12.704650
    Oben rechts KachelX + 1 9283 KachelY 7609 0.41839326 0.22173798 23.972168 12.704650
    Unten links KachelX 9282 KachelY + 1 7610 0.41800976 0.22136386 23.950195 12.683215
    Unten rechts KachelX + 1 9283 KachelY + 1 7610 0.41839326 0.22136386 23.972168 12.683215
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.22173798-0.22136386) × R
    0.000374120000000006 × 6371000     		dl = 2383.51852000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.22173798-0.22136386) × R
    0.000374120000000006 × 6371000     		dr = 2383.51852000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41800976-0.41839326) × cos(0.22173798) × R
    0.000383499999999981 × 0.975516696916129 × 6371000     		do = 2383.45897196608m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41800976-0.41839326) × cos(0.22136386) × R
    0.000383499999999981 × 0.975598907128981 × 6371000     		du = 2383.65983441162m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.22173798)-sin(0.22136386))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.975516696916129-0.975598907128981)×R²
    abs(0.41839326-0.41800976)×8.22102128520408e-05×R²
    0.000383499999999981×8.22102128520408e-05×6371000²
    0.000383499999999981×8.22102128520408e-05×40589641000000     		ar = 5681258.04728609m²