Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9282 / 7606
↖ ↑ ↗
← N 12.768947°
E 23.950195°		 ← 2 382.85 m → N 12.768947°
E 23.972168°		 →
↑
2 382.95 m
↓
↑
2 382.95 m
↓
N 12.747516°
E 23.950195°		 ← 2 383.06 m →
5 678 452 m²		 N 12.747516°
E 23.972168°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9282 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7606 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566558837890625 y=0.464263916015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566558837890625 × 214)
    floor (0.566558837890625 × 16384)
    floor (9282.5)     		tx = 9282
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.464263916015625 × 214)
    floor (0.464263916015625 × 16384)
    floor (7606.5)     		ty = 7606
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9282 / 7606 ti = "14/9282/7606"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9282/7606.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9282 ÷ 214
    9282 ÷ 16384     		x = 0.5665283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7606 ÷ 214
    7606 ÷ 16384     		y = 0.4642333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5665283203125 × 2 - 1) × π
    0.133056640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.41800976
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4642333984375 × 2 - 1) × π
    0.071533203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.224728185418823
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41800976} λ = 0.41800976}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.224728185418823))-π/2
    2×atan(1.25198236287586)-π/2
    2×0.896828242083973-π/2
    1.79365648416795-1.57079632675     		φ = 0.22286016
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41800976} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.950195°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.22286016 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.768947°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9282 KachelY 7606 0.41800976 0.22286016 23.950195 12.768947
    Oben rechts KachelX + 1 9283 KachelY 7606 0.41839326 0.22286016 23.972168 12.768947
    Unten links KachelX 9282 KachelY + 1 7607 0.41800976 0.22248613 23.950195 12.747516
    Unten rechts KachelX + 1 9283 KachelY + 1 7607 0.41839326 0.22248613 23.972168 12.747516
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.22286016-0.22248613) × R
    0.000374029999999997 × 6371000     		dl = 2382.94512999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.22286016-0.22248613) × R
    0.000374029999999997 × 6371000     		dr = 2382.94512999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41800976-0.41839326) × cos(0.22286016) × R
    0.000383499999999981 × 0.975269286873611 × 6371000     		do = 2382.85448032851m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41800976-0.41839326) × cos(0.22248613) × R
    0.000383499999999981 × 0.975351886744073 × 6371000     		du = 2383.05629481611m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.22286016)-sin(0.22248613))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.975269286873611-0.975351886744073)×R²
    abs(0.41839326-0.41800976)×8.25998704618858e-05×R²
    0.000383499999999981×8.25998704618858e-05×6371000²
    0.000383499999999981×8.25998704618858e-05×40589641000000     		ar = 5678452.0020232m²