Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9282 / 25742
↖ ↑ ↗
← S 71.123880°
W 78.024902°		 ← 395.21 m → S 71.123880°
W 78.013916°		 →
↑
395.19 m
↓
↑
395.19 m
↓
S 71.127434°
W 78.024902°		 ← 395.14 m →
156 169 m²		 S 71.127434°
W 78.013916°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9282 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25742 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.283279418945312 y=0.785598754882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.283279418945312 × 215)
    floor (0.283279418945312 × 32768)
    floor (9282.5)     		tx = 9282
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785598754882812 × 215)
    floor (0.785598754882812 × 32768)
    floor (25742.5)     		ty = 25742
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9282 / 25742 ti = "15/9282/25742"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9282/25742.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9282 ÷ 215
    9282 ÷ 32768     		x = 0.28326416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25742 ÷ 215
    25742 ÷ 32768     		y = 0.78558349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.28326416015625 × 2 - 1) × π
    -0.4334716796875 × 3.1415926535     		Λ = -1.36179144
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78558349609375 × 2 - 1) × π
    -0.5711669921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.79437402657794
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36179144} λ = -1.36179144}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79437402657794))-π/2
    2×atan(0.166231476271386)-π/2
    2×0.164725219063175-π/2
    0.32945043812635-1.57079632675     		φ = -1.24134589
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36179144} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.024902°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24134589 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.123880°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9282 KachelY 25742 -1.36179144 -1.24134589 -78.024902 -71.123880
    Oben rechts KachelX + 1 9283 KachelY 25742 -1.36159970 -1.24134589 -78.013916 -71.123880
    Unten links KachelX 9282 KachelY + 1 25743 -1.36179144 -1.24140792 -78.024902 -71.127434
    Unten rechts KachelX + 1 9283 KachelY + 1 25743 -1.36159970 -1.24140792 -78.013916 -71.127434
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24134589--1.24140792) × R
    6.20300000000462e-05 × 6371000     		dl = 395.193130000294m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24134589--1.24140792) × R
    6.20300000000462e-05 × 6371000     		dr = 395.193130000294m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36179144--1.36159970) × cos(-1.24134589) × R
    0.000191739999999996 × 0.323523069424875 × 6371000     		do = 395.207868235141m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36179144--1.36159970) × cos(-1.24140792) × R
    0.000191739999999996 × 0.323464374758359 × 6371000     		du = 395.136168266196m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24134589)-sin(-1.24140792))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323523069424875-0.323464374758359)×R²
    abs(-1.36159970--1.36179144)×5.8694666516701e-05×R²
    0.000191739999999996×5.8694666516701e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.8694666516701e-05×40589641000000     		ar = 156169.266831298m²