Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9281 / 7615
↖ ↑ ↗
← N 12.576010°
E 23.928223°		 ← 2 384.60 m → N 12.576010°
E 23.950195°		 →
↑
2 384.73 m
↓
↑
2 384.73 m
↓
N 12.554564°
E 23.928223°		 ← 2 384.80 m →
5 686 855 m²		 N 12.554564°
E 23.950195°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9281 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7615 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566497802734375 y=0.464813232421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566497802734375 × 214)
    floor (0.566497802734375 × 16384)
    floor (9281.5)     		tx = 9281
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.464813232421875 × 214)
    floor (0.464813232421875 × 16384)
    floor (7615.5)     		ty = 7615
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9281 / 7615 ti = "14/9281/7615"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9281/7615.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9281 ÷ 214
    9281 ÷ 16384     		x = 0.56646728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7615 ÷ 214
    7615 ÷ 16384     		y = 0.46478271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56646728515625 × 2 - 1) × π
    0.1329345703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.41762627
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46478271484375 × 2 - 1) × π
    0.0704345703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.221276728646179
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41762627} λ = 0.41762627}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.221276728646179))-π/2
    2×atan(1.24766864845199)-π/2
    2×0.89514455325884-π/2
    1.79028910651768-1.57079632675     		φ = 0.21949278
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41762627} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.928223°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.21949278 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.576010°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9281 KachelY 7615 0.41762627 0.21949278 23.928223 12.576010
    Oben rechts KachelX + 1 9282 KachelY 7615 0.41800976 0.21949278 23.950195 12.576010
    Unten links KachelX 9281 KachelY + 1 7616 0.41762627 0.21911847 23.928223 12.554564
    Unten rechts KachelX + 1 9282 KachelY + 1 7616 0.41800976 0.21911847 23.950195 12.554564
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.21949278-0.21911847) × R
    0.000374309999999989 × 6371000     		dl = 2384.72900999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.21949278-0.21911847) × R
    0.000374309999999989 × 6371000     		dr = 2384.72900999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41762627-0.41800976) × cos(0.21949278) × R
    0.000383489999999986 × 0.976008014219674 × 6371000     		do = 2384.59721549995m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41762627-0.41800976) × cos(0.21911847) × R
    0.000383489999999986 × 0.976089446082766 × 6371000     		du = 2384.79617103224m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.21949278)-sin(0.21911847))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.976008014219674-0.976089446082766)×R²
    abs(0.41800976-0.41762627)×8.14318630917299e-05×R²
    0.000383489999999986×8.14318630917299e-05×6371000²
    0.000383489999999986×8.14318630917299e-05×40589641000000     		ar = 5686855.45088021m²