Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 9281 / 7608
↖ ↑ ↗
← N 12.726084°
E 23.928223°		 ← 2 383.20 m → N 12.726084°
E 23.950195°		 →
↑
2 383.33 m
↓
↑
2 383.33 m
↓
N 12.704650°
E 23.928223°		 ← 2 383.40 m →
5 680 175 m²		 N 12.704650°
E 23.950195°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9281 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7608 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566497802734375 y=0.464385986328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566497802734375 × 214)
    floor (0.566497802734375 × 16384)
    floor (9281.5)     		tx = 9281
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.464385986328125 × 214)
    floor (0.464385986328125 × 16384)
    floor (7608.5)     		ty = 7608
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9281 / 7608 ti = "14/9281/7608"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9281/7608.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9281 ÷ 214
    9281 ÷ 16384     		x = 0.56646728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7608 ÷ 214
    7608 ÷ 16384     		y = 0.46435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56646728515625 × 2 - 1) × π
    0.1329345703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.41762627
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46435546875 × 2 - 1) × π
    0.0712890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.223961195024902
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41762627} λ = 0.41762627}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.223961195024902))-π/2
    2×atan(1.25102247259054)-π/2
    2×0.896454199328373-π/2
    1.79290839865675-1.57079632675     		φ = 0.22211207
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41762627} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.928223°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.22211207 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.726084°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9281 KachelY 7608 0.41762627 0.22211207 23.928223 12.726084
    Oben rechts KachelX + 1 9282 KachelY 7608 0.41800976 0.22211207 23.950195 12.726084
    Unten links KachelX 9281 KachelY + 1 7609 0.41762627 0.22173798 23.928223 12.704650
    Unten rechts KachelX + 1 9282 KachelY + 1 7609 0.41800976 0.22173798 23.950195 12.704650
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.22211207-0.22173798) × R
    0.000374089999999994 × 6371000     		dl = 2383.32738999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.22211207-0.22173798) × R
    0.000374089999999994 × 6371000     		dr = 2383.32738999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41762627-0.41800976) × cos(0.22211207) × R
    0.000383489999999986 × 0.975434356773038 × 6371000     		do = 2383.19564714194m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41762627-0.41800976) × cos(0.22173798) × R
    0.000383489999999986 × 0.975516696916129 × 6371000     		du = 2383.39682179735m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.22211207)-sin(0.22173798))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.975434356773038-0.975516696916129)×R²
    abs(0.41800976-0.41762627)×8.23401430909421e-05×R²
    0.000383489999999986×8.23401430909421e-05×6371000²
    0.000383489999999986×8.23401430909421e-05×40589641000000     		ar = 5680175.26033718m²