Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 9281 / 25537
↖ ↑ ↗
← S 70.381543°
W 78.035889°		 ← 410.17 m → S 70.381543°
W 78.024902°		 →
↑
410.10 m
↓
↑
410.10 m
↓
S 70.385231°
W 78.035889°		 ← 410.10 m →
168 197 m²		 S 70.385231°
W 78.024902°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9281 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25537 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.283248901367188 y=0.779342651367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.283248901367188 × 215)
    floor (0.283248901367188 × 32768)
    floor (9281.5)     		tx = 9281
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779342651367188 × 215)
    floor (0.779342651367188 × 32768)
    floor (25537.5)     		ty = 25537
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9281 / 25537 ti = "15/9281/25537"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9281/25537.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9281 ÷ 215
    9281 ÷ 32768     		x = 0.283233642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25537 ÷ 215
    25537 ÷ 32768     		y = 0.779327392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.283233642578125 × 2 - 1) × π
    -0.43353271484375 × 3.1415926535     		Λ = -1.36198319
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779327392578125 × 2 - 1) × π
    -0.55865478515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.7550657688895
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36198319} λ = -1.36198319}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7550657688895))-π/2
    2×atan(0.172895870748356)-π/2
    2×0.17120333450919-π/2
    0.342406669018379-1.57079632675     		φ = -1.22838966
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36198319} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.035889°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22838966 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.381543°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9281 KachelY 25537 -1.36198319 -1.22838966 -78.035889 -70.381543
    Oben rechts KachelX + 1 9282 KachelY 25537 -1.36179144 -1.22838966 -78.024902 -70.381543
    Unten links KachelX 9281 KachelY + 1 25538 -1.36198319 -1.22845403 -78.035889 -70.385231
    Unten rechts KachelX + 1 9282 KachelY + 1 25538 -1.36179144 -1.22845403 -78.024902 -70.385231
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22838966--1.22845403) × R
    6.43700000000358e-05 × 6371000     		dl = 410.101270000228m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22838966--1.22845403) × R
    6.43700000000358e-05 × 6371000     		dr = 410.101270000228m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36198319--1.36179144) × cos(-1.22838966) × R
    0.000191749999999935 × 0.335755020514151 × 6371000     		do = 410.171511444503m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36198319--1.36179144) × cos(-1.22845403) × R
    0.000191749999999935 × 0.335694386539336 × 6371000     		du = 410.097438600985m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22838966)-sin(-1.22845403))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.335755020514151-0.335694386539336)×R²
    abs(-1.36179144--1.36198319)×6.06339748155937e-05×R²
    0.000191749999999935×6.06339748155937e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.06339748155937e-05×40589641000000     		ar = 168196.669135807m²