Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9280 / 9633
↖ ↑ ↗
← S 30.164126°
E 23.906250°		 ← 2 112.43 m → S 30.164126°
E 23.928223°		 →
↑
2 112.18 m
↓
↑
2 112.18 m
↓
S 30.183122°
E 23.906250°		 ← 2 112.03 m →
4 461 404 m²		 S 30.183122°
E 23.928223°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9280 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9633 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566436767578125 y=0.587982177734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566436767578125 × 214)
    floor (0.566436767578125 × 16384)
    floor (9280.5)     		tx = 9280
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.587982177734375 × 214)
    floor (0.587982177734375 × 16384)
    floor (9633.5)     		ty = 9633
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9280 / 9633 ti = "14/9280/9633"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9280/9633.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9280 ÷ 214
    9280 ÷ 16384     		x = 0.56640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9633 ÷ 214
    9633 ÷ 16384     		y = 0.58795166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56640625 × 2 - 1) × π
    0.1328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.41724277
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58795166015625 × 2 - 1) × π
    -0.1759033203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.552616578820007
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41724277} λ = 0.41724277}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.552616578820007))-π/2
    2×atan(0.57544214904398)-π/2
    2×0.522166503066417-π/2
    1.04433300613283-1.57079632675     		φ = -0.52646332
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41724277} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.906250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52646332 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.164126°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9280 KachelY 9633 0.41724277 -0.52646332 23.906250 -30.164126
    Oben rechts KachelX + 1 9281 KachelY 9633 0.41762627 -0.52646332 23.928223 -30.164126
    Unten links KachelX 9280 KachelY + 1 9634 0.41724277 -0.52679485 23.906250 -30.183122
    Unten rechts KachelX + 1 9281 KachelY + 1 9634 0.41762627 -0.52679485 23.928223 -30.183122
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52646332--0.52679485) × R
    0.00033153000000008 × 6371000     		dl = 2112.17763000051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52646332--0.52679485) × R
    0.00033153000000008 × 6371000     		dr = 2112.17763000051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41724277-0.41762627) × cos(-0.52646332) × R
    0.000383500000000037 × 0.864589580409435 × 6371000     		do = 2112.43313313859m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41724277-0.41762627) × cos(-0.52679485) × R
    0.000383500000000037 × 0.864422946130178 × 6371000     		du = 2112.02599918672m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52646332)-sin(-0.52679485))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.864589580409435-0.864422946130178)×R²
    abs(0.41762627-0.41724277)×0.000166634279256339×R²
    0.000383500000000037×0.000166634279256339×6371000²
    0.000383500000000037×0.000166634279256339×40589641000000     		ar = 4461404.07993884m²